[论文解读] High-Order Extended Finite Element Methods for Solving Interface Problems

Fei Wang, Yuanming Xiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 13

一句话总结

本论文提出基于两种不连续伽辽金格式的高阶扩展有限元方法（XFE），用于求解具有任意阶精度的椭圆型界面问题。在分片 $H^1$-范数和 $L^2$-范数下建立了最优误差估计，并提出了一种参数友好的 DG-XFEM 方法，该方法无需依赖‘足够大’的稳定化参数即可保证最优收敛性，其有效性通过严格的分析和数值实验得到验证。

ABSTRACT

In this paper, we study arbitrary order extended finite element (XFE) methods based on two discontinuous Galerkin (DG) schemes in order to solve elliptic interface problems in two and three dimensions. Optimal error estimates in the piecewise $H^1$-norm and in the $L^2$-norm are rigorously proved for both schemes. In particular, we have devised a new parameter-friendly DG-XFEM method, which means that no "sufficiently large" parameters are needed to ensure the optimal convergence of the scheme. To prove the stability of bilinear forms, we derive non-standard trace and inverse inequalities for high-order polynomials on curved sub-elements divided by the interface. All the estimates are independent of the location of the interface relative to the meshes. Numerical examples are given to support the theoretical results.

研究动机与目标

• 开发用于求解具有不连续系数的椭圆型界面问题的高阶扩展有限元方法。
• 确保在非拟合网格下 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下均达到最优收敛速率。
• 消除 DG-XFEM 格式中对‘足够大’稳定化参数的需求。
• 建立与界面相对于网格位置无关的鲁棒误差估计。
• 通过二维与三维曲界面的数值示例验证理论结果。

提出的方法

• 在非拟合网格上为扩展有限元方法（XFEM）构造两种不连续伽辽金（DG）格式。
• 提出一种新型参数友好的 DG-XFEM 格式，确保在无需大稳定化参数的情况下实现最优收敛。
• 推导了在界面划分出的曲边子区域上高阶多项式所适用的非标准迹不等式与逆不等式。
• 采用 Nitsche 方法，通过弱形式强制实现界面处的连续性与跳跃条件。
• 基于伴随问题采用对偶论证方法，推导出 $L^2$-范数的误差估计。
• 引入一种新颖的插值算子 $\Pi_h$，用于控制能量范数与 $L^2$ 范数下的一致性误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶 XFEM 搭配 DG 稳定化格式是否能在非拟合网格上实现椭圆型界面问题的最优收敛？
• RQ2 所提出的 DG-XFEM 格式是否可在不依赖‘足够大’稳定化参数的情况下维持最优收敛？
• RQ3 能否在具有曲界面的非拟合网格上，为高阶方法严格证明 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优误差估计？
• RQ4 误差估计是否与界面相对于网格的位置无关？
• RQ5 数值实验是否验证了不同多项式阶次与系数跳跃情况下的理论收敛速率？

主要发现

• 证明了两种 DG-XFEM 格式在 $H^1$-范数下均达到 $h^p$ 阶的最优误差估计，其中 $p$ 为多项式阶次。
• 通过采用对偶论证方法，建立了对称格式（$eta=1$）在 $L^2$-范数下 $h^{p+1}$ 阶的最优误差估计。
• 所提出的参数友好的 DG-XFEM 方法确保了最优收敛性，且无需依赖大稳定化参数。
• 推导并应用了适用于曲边子区域上高阶多项式的非标准迹不等式与逆不等式，用于证明稳定性和最优收敛性。
• 数值结果验证了在 $p=1,2,3$ 时，$H^1$-范数下为 $O(h^p)$ 的收敛率，$L^2$-范数下为 $O(h^{p+1})$ 的收敛率，且在不同系数比下均成立。
• 误差估计对界面位置具有鲁棒性，因其与界面如何切割网格无关。