[论文解读] High-order Numerical Methods for Riesz Space Fractional Turbulent Diffusion Equation

Hengfei Ding, Changpin Li|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 28被引用 41

一句话总结

本文提出了一种基于生成函数的高阶有限差分格式（2至6阶），用于求解Riesz空间分数阶导数，实现了最优收敛速率。该方法应用于Riesz型湍流扩散方程时，表现出$Ó(\tau^2 + h^2)$、$Ó(\tau^2 + h^4)$和$Ó(\tau^2 + h^6)$的收敛性，数值实验验证了其有效性。

ABSTRACT

Numerical methods for fractional calculus attract increasing interests due to its wide applications in various fields such as physics, mechanics, etc. In this paper, we focus on constructing high-order algorithms for Riesz derivatives, where the convergence orders cover from the second order to the sixth order. Then we apply the established schemes to the Riesz space fractional turbulent diffusion equation. Numerical experiments are displayed which support the theoretical analysis.

研究动机与目标

• 开发针对Riesz空间分数阶导数的高阶、直观且直接的算法，收敛阶数从二阶到六阶不等。
• 通过提出基于生成函数的方法，克服现有基于傅里叶的方法的局限性，以构建高阶格式。
• 将所推导的高阶格式应用于具有非局部长程相互作用的Riesz型湍流扩散方程。
• 建立严格的收敛性分析，并通过数值实验验证格式的有效性。
• 在求解分数阶湍流扩散方程时，展示最优的时间与空间收敛速率。

提出的方法

• 利用生成函数构造Riesz导数的高阶有限差分格式，实现系数的直接且系统化的推导。
• 通过生成函数方法推导出Riesz导数的二阶、四阶和六阶格式，确保高精度。
• 将所推导的格式应用于包含对流、经典扩散和分数阶扩散项的Riesz型湍流扩散方程。
• 采用Crank-Nicolson型时间离散化方法，保持时间方向二阶精度并确保稳定性。
• 进行误差分析，证明各格式对应的收敛速率分别为$Ó(\tau^2 + h^2)$、$Ó(\tau^2 + h^4)$和$Ó(\tau^2 + h^6)$。
• 通过数值实验验证理论收敛阶数，并检验格式的效率与有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于生成函数方法系统地构造出Riesz空间分数阶导数的高阶有限差分格式（二至六阶）？
• RQ2 当将这些高阶格式应用于Riesz型湍流扩散方程时，其收敛行为如何？
• RQ3 所提出的格式是否在分数阶扩散方程中实现了时间与空间方向的最优收敛速率？
• RQ4 数值结果在精度与稳定性方面与理论预测相比表现如何？
• RQ5 生成函数方法是否能为Riesz导数提供一种比基于傅里叶的格式更直观、更直接的替代方案？

主要发现

• 所提出的基于生成函数的方法成功构造了Riesz导数的二阶、四阶和六阶有限差分格式，具有高精度。
• 这些格式在Riesz型湍流扩散方程中分别实现了最优收敛速率$Ó(\tau^2 + h^2)$、$Ó(\tau^2 + h^4)$和$Ó(\tau^2 + h^6)$。
• 数值实验验证了理论收敛阶数，表明所提格式具有可靠性与高效性。
• 该方法为基于傅里叶的高阶格式提供了一种系统且直观的替代方案，简化了系数的构造过程。
• Riesz导数近似格式的误差界被严格推导，表明格式具有稳定性和相容性。
• 通过调整参数，该方法可扩展至奇数阶格式（如三阶、五阶），如文献[10]所示，证实了其通用性。