[论文解读] Numerical Approximations for Fractional Differential Equations

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 65被引用 54

一句话总结

本文提出了一种基于加权平均的格伦瓦尔德与移位格伦瓦尔德公式组合的二阶和三阶数值逼近方法，用于求解分数阶微分方程，利用初始点处导数消失的特性。该方法推导出针对亚扩散方程和普通分数阶微分方程的无条件稳定、二阶精度的隐式有限差分格式，在光滑性条件下实现了 $O(\tau^2 + h^2)$ 的收敛速率。

ABSTRACT

The Grünwald and shifted Grünwald formulas for the function $y(x)-y(b)$ are first order approximations for the Caputo fractional derivative of the function $y(x)$ with lower limit at the point $b$. We obtain second and third order approximations for the Grünwald and shifted Grünwald formulas with weighted averages of Caputo derivatives when sufficient number of derivatives of the function $y(x) $ are equal to zero at $b$, using the estimate for the error of the shifted Grünwald formulas. We use the approximations to determine implicit difference approximations for the sub-diffusion equation which have second order accuracy with respect to the space and time variables, and second and third order numerical approximations for ordinary fractional differential equations.

研究动机与目标

• 开发超越标准一阶格伦瓦尔德公式的更高阶分数阶导数数值逼近方法。
• 为分数阶亚扩散方程构造稳定且收敛的隐式有限差分格式，实现在时间和空间变量上均为二阶精度。
• 将该方法扩展至普通分数阶微分方程，利用 Caputo 导数的加权平均实现二阶与三阶精度。
• 在初始点处导数消失的光滑性条件下，建立严格的误差估计与收敛性证明。

提出的方法

• 当 $y(x)$ 在 $b$ 点处足够多阶导数消失时，通过 Caputo 导数的加权平均，推导格伦瓦尔德与移位格伦瓦尔德公式的二阶与三阶逼近。
• 利用移位格伦瓦尔德公式的误差估计，构造分数阶导数的高阶逼近。
• 为形如 $y^{(\alpha)}(x) + y(x) = f(x)$ 的普通分数阶微分方程建立递推关系，实现二阶与三阶精度。
• 利用逼近公式 (9) 与 (10)，为亚扩散方程 $\partial^\alpha u/\partial t^\alpha = \partial^2 u/\partial x^2 + G(x,t)$ 构造隐式差分格式 (56) 与 (57)。
• 通过矩阵递推与向量范数分析证明稳定性和收敛性，误差满足 $\|E_m\| < C m^\alpha \tau^\alpha (\tau^2 + h^2)$。
• 在时间方向采用 Crank-Nicolson 方法，空间方向采用中心差分，确保时间与空间变量均为二阶精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始点处导数消失时，能否利用格伦瓦尔德公式的加权平均构造分数阶导数的更高阶逼近？
• RQ2 当对时间分数阶导数使用二阶逼近时，分数阶亚扩散方程隐式差分格式的收敛速率是多少？
• RQ3 如何为具有 Caputo 导数的普通分数阶微分方程推导出二阶与三阶精度的数值格式？
• RQ4 在何种条件下可保证分数阶亚扩散问题数值解的无条件稳定性和二阶收敛性？

主要发现

• 在 $y(x)$ 在 $b$ 点处足够多阶导数消失的条件下，本文利用格伦瓦尔德与移位格伦瓦尔德公式的加权平均，构造了 Caputo 分数阶导数的二阶与三阶逼近。
• 针对亚扩散方程的隐式差分格式 (56) 与 (57) 在时间和空间变量上均达到二阶精度，收敛速率为 $O(\tau^2 + h^2)$。
• 所提格式无条件稳定，误差满足 $\|E_m\| < C m^\alpha \tau^\alpha (\tau^2 + h^2)$，确保对所有 $m \leq M$ 均收敛。
• 对于普通分数阶微分方程，递推关系 (25)、(26) 与 (33) 可生成二阶与三阶精度的数值解。
• 误差估计依赖于 $y(x)$ 在 $b$ 点处的光滑性，特别是导数的消失特性，以实现更高阶收敛。
• 理论分析表明，所提格式即使在 $m$ 较大时仍能保持稳定与收敛，其界依赖于 $C_R$ 与 $\alpha$。