[论文解读] Higher Abel-Jacobi Maps

Jishnu Biswas, Gautham Dayal+2 more|ArXiv.org|Oct 3, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于绝对 Deligne-Beilinson 上同调与 Morihiko Saito 的 Hodge 模理论的 Green 高阶 Abel-Jacobi 映射的替代方案，以解决关于 Chow 群滤子的 Bloch 猜想。该研究构建了一个进入统一了奇异上同调与 Abel-Jacobi 映射的上同调理论的周期类映射，表明当代数簇定义在数域上时，Bloch 猜想可由动机的标准猜想推出。

ABSTRACT

This paper forms the major portion of a talk given at the International Colloquium on Arithmetic, Algebra and Geometry at TIFR, Mumbai in Jan 2000. We look at the problem of detecting cycles with trivial Abel-Jacobi invariant. M. Green proposed a Hodge-theoretic method to which C. Voisin found a counter-example. We present an easier example. We also propose another possible invariant to detect these classes using Hodge Theory. Similar methods have been proposed earlier by M. Asakura and M. Saito.

研究动机与目标

• 解决关于定义在 ℂ 子域上的光滑射影代数簇上代数周期的 Chow 群滤子的 Bloch 猜想。
• 克服 Green 高阶 Abel-Jacobi 映射的局限性，该局限性已被反例证明无法检测 F²CH²(S) 中某些非挠元。
• 构建一个基于 Deligne-Beilinson 上同调与 Hodge 模的上同调框架，以实现 Bloch 与 Beilinson 所猜想的高阶扩张群 Ext^k(ℚ(−p), H^{2p−k}(V))。
• 建立一个进入绝对 Deligne-Beilinson 上同调的周期类映射，其在 Chow 群上诱导出正确的滤子，且与 Hodge 理论期望相容。
• 表明若所提出的上同调框架有效，则关于定义在数域上的代数簇 V 的 F²CHᵖ(V) = 0 的 Bloch 猜想可由动机的标准猜想推出。

提出的方法

• 利用定义在 ℚ̄ ⊂ ℂ 上的代数簇的 Hodge 模框架，为在基 S 上的族 𝒱 → S 的相对 de Rham 上同调 R^i_dR(𝒱/S) 构造一个混合 Hodge 结构。
• 应用谱序列 Ext^b_MHM(S)(ℚ(c), R^a_dR(𝒥/S)) ⇒ Ext^{a+b}_MHM(𝒥)(ℚ(c), ℚ) 来通过混合 Hodge 模范畴中的 Ext 群定义 Deligne-Beilinson 上同调。
• 将绝对 Deligne-Beilinson 上同调 H^n_ADb(V, ℚ(c)) 定义为所有 V 在 ℚ̄ 上的模型 𝒥 → S 的 Ext^n_MHM(𝒥)(ℚ(c), ℚ) 的直接极限。
• 构造一个周期类映射 cl^p_ADb: CH^p(V) → H^{2p}_ADb(V, ℚ(p))，该映射结合了奇异周期类映射与 Abel-Jacobi 映射。
• 利用谱序列在 CH^p(V) 上诱导出一个滤子，该滤子被猜想与 Bloch 的滤子 F^kCH^p(V) 一致。
• 依赖于当 dim S ≥ 1 时，MHM(S) 中的 Ext^2 群非平凡，从而可通过高阶扩张构造高阶 Abel-Jacobi 映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个高阶 Abel-Jacobi 映射，以在混合动机范畴中实现 Bloch 与 Beilinson 所猜想的高阶扩张群 Ext^k(ℚ(−p), H^{2p−k}(V))？
• RQ2 Green 的高阶 Abel-Jacobi 映射是否能正确检测定义在 ℂ 上的光滑射影曲面 S 的 F²CH²(S) 中的元素？
• RQ3 能否通过一个上同调框架，从标准猜想推导出关于定义在数域上的代数簇的 F²CH^p(V) 的 Bloch 猜想的消失性？
• RQ4 由绝对 Deligne-Beilinson 上同调诱导的 CH^p(V) 上的滤子是否与 Bloch 的猜想滤子相容？
• RQ5 绝对 Deligne-Beilinson 上同调 H^n_ADb(V, ℚ(c)) 能否用于统一周期类映射与 Abel-Jacobi 映射，从而完整捕捉 Chow 群滤子的结构？

主要发现

• Green 的高阶 Abel-Jacobi 映射无法检测某些光滑射影曲面 S 的 F²CH²(S) 中的非挠元，该结论已由反例证实。
• 所提出的绝对 Deligne-Beilinson 上同调 H^{2p}_ADb(V, ℚ(p)) 提供了一个上同调框架，统一了到奇异上同调的周期类映射与 Abel-Jacobi 映射。
• 谱序列 Ext^b_MHM(S)(ℚ(−p), R^a_dR(𝒥/S)) ⇒ Ext^{a+b}_MHM(𝒥)(ℚ(−p), ℚ) 实现了 Bloch 与 Beilinson 所猜想的高阶扩张群。
• 周期类映射 cl^p_ADb: CH^p(V) → H^{2p}_ADb(V, ℚ(p)) 在 CH^p(V) 上诱导出一个滤子，该滤子被猜想与 Bloch 的滤子 F^kCH^p(V) 一致。
• 若所提出的上同调框架有效，则关于定义在数域上的代数簇 V 的 F²CH^p(V) = 0 的猜想可由动机的标准猜想推出。
• 该构造表明，那些未被中间雅可比簇 J²₂(S) 检测到的 F²CH²(S) 中的元素，仍可通过绝对 Deligne-Beilinson 上同调被检测到，从而解决了经典方法的关键局限性。