[论文解读] String quantization: Fock vs. LQG Representations

Robert C. Helling, Giuseppe Policastro|ArXiv.org|Sep 17, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文在统一框架下比较了玻色子弦的福克空间与圈量子引力（LQG）启发的量子化方法。结果表明，尽管蒂耶曼的聚合态可生成微分同胚不变态，但其破坏了连续性，导致谐振子能量谱无界等非物理特征。相比之下，福克表示要求通过古斯塔夫-布勒勒方法实现微分同胚的幺正实现，引入中心荷，仅在26维时抵消，从而恢复弦理论的临界维数。

ABSTRACT

We set up a unified framework to compare the quantization of the bosonic string in two approaches: One proposed by Thiemann, based on methods of loop quantum gravity, and the other using the usual Fock space quantization. Both yield a diffeomorphism invariant quantum theory. We discuss why there is no central charge in Thiemann's approach but a discontinuity characteristic for the loop approach to diffeomorphism invariant theories. Then we show the (un)physical consequences of this discontinuity in the example of the harmonic oscillators such as an unbounded energy spectrum. On the other hand, in the continuous Fock representation, the unitary operators for the diffeomorphisms have to be constructed using the method of Gupta and Bleuler representing the diffeomorphism group up to a phase given by the usual central charge.

研究动机与目标

• 在统一形式体系中比较玻色子弦的福克空间与LQG启发（聚合）量子化方法。
• 分析聚合表示中不连续性的物理后果，特别是对谐振子能谱和算符连续性的影响。
• 展示如何利用古斯塔夫-布勒勒方法在福克表示中构造幺正的微分同胚生成元。
• 阐明为何福克方法中临界维数26的出现源于中心荷抵消。
• 论证尽管聚合表示具有微分同胚不变性，但由于缺乏连续性，其对谐振子而言物理上不等价且非物理。

提出的方法

• 在C*-代数框架内形式化两种量子化方案，区分代数结构与希尔伯特空间表示。
• 利用GNS构造从态构建量子代数，实现不同表示之间的比较。
• 在福克情形中使用Weyl算符而非无界场/动量算符，以确保有界性与连续性。
• 通过类古斯塔夫-布勒勒方法构造微分同胚的幺正实现，其引入对应于中心荷的相位。
• 模块化组合26个福克副本与bc-反物质系统，以抵消中心荷并恢复共形不变性。
• 分析聚合态缺乏弱连续性，导致无法将场算符定义为Weyl算符的导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何蒂耶曼的LQG启发量子化方法避开临界维数26？这一看似异常的物理根源是什么？
• RQ2 聚合表示的不连续性如何影响弦论框架下谐振子的能谱？
• RQ3 能否在福克表示中一致地构造幺正的微分同胚生成元？中心荷在此过程中起什么作用？
• RQ4 为何福克真空态不具有微分同胚不变性，而福克方法中仍能获得物理态空间？
• RQ5 福克表示与聚合表示是否物理上不等价？若是，如何通过实验检验？

主要发现

• 聚合表示缺乏弱连续性，导致无法将场算符定义为Weyl算符的导数。
• 在聚合表示中，谐振子的能量谱无界，与实验观测相矛盾。
• 在福克表示中，幺正微分同胚生成元仅能以相位形式存在，对应于代数中的中心荷。
• 中心荷仅在26维时消失，解释了福克方法中玻色子弦理论的临界维数。
• 福克表示仅在与26个副本及bc-反物质系统组合以抵消中心荷后，才能形成一致且无异常的理论。
• 尽管两种方法均生成微分同胚不变理论，但因连续性与谱性质不同，聚合表示与福克表示在物理上不等价。