[论文解读] Higher-dimensional generalizations of the Thouless charge pump

Anton Kapustin, Lev Spodyneiko|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过在D维闭流形参数化的、具有能隙且U(1)对称的系统族上定义一个拓扑不变量，将Thouless电荷泵推广至高维系统。基于有限尺寸系统中绝热演化与电荷输运的归纳论证，证明该不变量在短程纠缠相中为整数，从而将1D的Thouless泵推广至高维并具有拓扑鲁棒性。

ABSTRACT

We define and study analogs of the Thouless charge pump for many-body gapped systems in dimension $D$. We show how to attach a topological invariant to a $D$-dimensional family of such systems, provided all of them have an on-site $U(1)$ symmetry. For a large class of families we argue that this topological invariant is an integer. In the case of gapped systems of free fermions in two dimensions, the invariant can be expressed in terms of the curvature of the Bloch-Berry connection. We also obtain a new formula for the Thouless charge pump in 1d which involves only static linear response and is analogous to the Streda formula for Hall conductivity.

研究动机与目标

• 将Thouless电荷泵机制从一维系统推广至具有U(1)对称性的高维能隙系统。
• 为参数化于D维闭流形的能隙系统族定义一个拓扑不变量，而不仅限于环面。
• 在短程纠缠与非简并基态的假设下，证明该不变量为整数。
• 为高维系统中量化电荷输运提供严格的数学框架，类比于1D情形。
• 通过静态线性响应方法，推广1D的Thouless公式，类似于Hall电导率的Streda公式。

提出的方法

• 在D维流形上定义一个D参数族的能隙、U(1)对称哈密顿量，不假设周期性。
• 利用参数空间的两个可缩图册及它们重叠区域上的第三组插值族，实现不变量的局域化。
• 在最后一维构建长度为4L的有限尺寸系统，以隔离边缘效应的拓扑贡献。
• 应用绝热演化协议，参数在参数空间中沿环路变化，测量每个原胞的净电荷输运。
• 利用梯度展开与紧支撑函数，分离出次主导项q′−q，证明其为整数不变量。
• 通过维数D的归纳法，将D维不变量约化为有限尺寸子系统上的(D−1)维不变量，误差项随L−∞抑制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为不假设周期性的能隙系统定义高维Thouless电荷泵的推广？
• RQ2 在高维中，对于短程纠缠系统，绝热循环下的电荷输运不变量是否为整数？
• RQ3 如何为参数化于一般D维闭流形的能隙系统族分配一个拓扑不变量？
• RQ4 U(1)对称性与短程纠缠在确保不变量的整数性中起什么作用？
• RQ5 1D的Thouless公式能否仅通过静态线性响应重新表述，类比于Streda公式？

主要发现

• 本文为具有U(1)对称性的D维能隙系统族（参数化于D维闭流形）定义了一个拓扑不变量。
• 对于短程纠缠系统，该不变量为整数，推广了1D Thouless泵中电荷输运的量化行为。
• 该不变量在保持能隙与U(1)对称性的连续变形下保持不变。
• 通过仅使用静态线性响应，重新推导出1D Thouless电荷泵，得到类比于Hall电导率Streda公式的公式。
• 证明D维不变量在指数小修正范围内等于有限尺寸子系统上的低维不变量，从而实现归纳证明。
• 通过叠加时间反演族并取L→∞极限，证明边缘贡献之差q′−q为整数拓扑不变量。