[论文解读] Higher Genus FJRW Invariants of a Fermat Cubic

Jun Li, Yefeng Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用 4

一句话总结

该论文通过在FJRW与Gromov-Witten理论中的拟模形式之间构造一个Cayley变换，为Fermat三次Landau-Ginzburg空间建立了完整的全亏格Landau-Ginzburg/Calabi-Yau对应关系。它证明了所有高亏格FJRW不变量均由满足Chazy方程的亏格一初等不变量决定，并通过椭圆曲线的Gromov-Witten不变量进行计算，揭示了全纯异常方程与Virasoro约束。

ABSTRACT

We reconstruct the all-genus Fan-Jarvis-Ruan-Witten invariants of a Fermat cubic Landau-Ginzburg space $(x_1^3+x_2^3+x_3^3: [\mathbb{C}^3/ \mathboldμ_3] o \mathbb{C})$ from genus-one primary invariants, using tautological relations and axioms of Cohomological Field Theories. These genus-one invariants satisfy a Chazy equation by the Belorousski-Pandharipande relation. They are completely determined by a single genus-one invariant, which can be obtained from cosection localization and intersection theory on moduli of three spin curves. We solve an all-genus Landau-Ginzburg/Calabi-Yau Correspondence Conjecture for the Fermat cubic Landau-Ginzburg space using Cayley transformation on quasi-modular forms. This transformation relates two non-semisimple CohFT theories: the Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory of the Fermat cubic polynomial and the Gromov-Witten theory of the Fermat cubic curve. As a consequence, Fan-Jarvis-Ruan-Witten invariants at any genus can be computed using Gromov-Witten invariants of the elliptic curve. They also satisfy nice structures including holomorphic anomaly equations and Virasoro constraints.

研究动机与目标

• 解决Fermat三次Landau-Ginzburg空间的全亏格Landau-Ginzburg/Calabi-Yau对应猜想。
• 通过经典关系与CohFT公理，从亏格一初等不变量重构高亏格FJRW不变量。
• 通过模形式性质证明FJRW不变量满足全纯异常方程与Virasoro约束。
• 通过拟模形式上的Cayley变换，利用椭圆曲线的Gromov-Witten不变量计算FJRW不变量。
• 证明亏格一FJRW不变量完全由单个不变量决定，该不变量通过余截面局部化与三自旋曲线模空间上的交点理论计算得出。

提出的方法

• 使用经典关系与上同调场论（CohFT）公理，将高亏格FJRW不变量约化为亏格一初等不变量。
• 应用Belorousski-Pandharipande关系，推导出亏格一不变量的Chazy微分方程。
• 通过余截面局部化与三自旋曲线模空间上的交点理论，计算单个亏格一FJRW不变量。
• 在椭圆曲线的GW理论与Fermat三次的FJRW理论的$I$-函数之间构造Cayley变换。
• 将$I$-函数与模形式关联，并证明它们在模曲线$\Gamma(3)\backslash\mathbb{H}^*$上描述相同的全纯截面$K_{\rm Σ}^{1/2}$。
• 通过框架变换实现模形式完备化，关联两侧的平稳相关函数，证明在模变换与全纯延拓下等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 Fermat三次的全亏格FJRW不变量能否由亏格一初等不变量重构？
• RQ2 Fermat三次的亏格一FJRW不变量如何确定？它们满足何种微分方程？
• RQ3 Fermat三次的FJRW理论与椭圆曲线的Gromov-Witten理论之间精确的数学机制是什么？
• RQ4 FJRW不变量是否满足全纯异常方程与Virasoro约束？若满足，这些结构如何实现？
• RQ5 拟模形式上的Cayley变换如何在所有亏格下编码Landau-Ginzburg/Calabi-Yau对应？

主要发现

• Fermat三次的所有高亏格FJRW不变量完全由单个亏格一初等不变量决定。
• 亏格一初等不变量满足Chazy方程，该方程由Belorousski-Pandharipande关系导出。
• 亏格一不变量通过余截面局部化与三自旋曲线模空间上的交点理论计算得出。
• Landau-Ginzburg/Calabi-Yau对应通过GW理论与FJRW理论的$I$-函数之间的Cayley变换实现。
• 通过拟模形式的模变换，任意亏格的FJRW不变量均可由椭圆曲线的Gromov-Witten不变量计算得出。
• 两侧的平稳相关函数通过模形式完备化关联，且量$(I_0^\clubsuit)^{2-2g} \langle \cdots \rangle^{\widehat{\leavevmode\nobreak\ }} (d\tau^\clubsuit)^{\otimes n}$是模曲线$\Gamma(3)\backslash\mathbb{H}^*$上$K_{\mathcal{M}}^{\otimes n}$的全局截面。