[论文解读] Higher Hochschild homology and exponential functors

Geoffrey Powell, Christine Vespa|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 40被引用 8

一句话总结

本论文研究在特征零域上，以平方零扩张为系数的圆周楔积的高阶霍赫希尔德同调，聚焦于自由群上的函子。论文引入了外函子范畴，并利用指数函子与舒尔函子显式计算同调，表明自同构作用通过外自同构因子化，并以对称幂与外幂形式给出精确分解。

ABSTRACT

We study higher Hochschild homology evaluated on wedges of circles, viewed as a functor on the category of free groups. The main results use coefficients arising from square-zero extensions; this is motivated by work of Turchin and Willwacher in relation to hairy graph cohomology. The functorial point of view allows us to exploit tools such as the theory of polynomial functors and exponential functors. We also introduce and make essential use of the category of outer functors, the full subcategory of functors on free groups on which inner automorphisms act trivially. We give a description of higher Hochschild homology in terms of intrinsically defined polynomial outer functors; we also obtain several explicit computations of these outer functors, working over a field of characteristic zero. In particular, higher Hochschild homology gives a natural source of non-trivial polynomial outer functors.

研究动机与目标

• 理解作为自由群上函子的有限个圆周楔积的高阶霍赫希尔德同调。
• 分析自由群自同构群在该同调上的作用，并证明其通过外自同构因子化。
• 通过外函子与指数函子建立框架，计算以平方零扩张为系数的同调。
• 通过在特征零下提供显式计算，推广图尔钦与威勒切尔关于毛发图上同调的结果。
• 通过外函子包含的右伴随函子，建立高阶霍赫希尔德同调与多项式函子之间的联系。

提出的方法

• 将外函子范畴引入为自由群上函子的全子范畴，其中内自同构作用平凡。
• 使用外函子包含的右伴随函子 ω，其捕捉了高阶霍赫希尔德同调的本质结构。
• 应用指数函子建模圆周楔积的同调，特别利用张量余代数构造。
• 在特征零下应用柯西恒等式，分解张量积的对称幂与外幂。
• 利用舒尔函子与对称群的表示理论，以不可约表示形式计算同调。
• 分析涉及对偶数的系数短正合列所关联的高阶霍赫希尔德同调的长正合列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平方零扩张为系数时，r个圆周的楔积的高阶霍赫希尔德同调作为自由群上函子的行为如何？
• RQ2 自由群的自同构群如何作用于高阶霍赫希尔德同调？该作用是否通过外自同构因子化？
• RQ3 在特征零域上，以 L(𝕜[ε], 𝕜[ε]) 为系数的高阶霍赫希尔德同调的精确结构为何？
• RQ4 如何利用指数函子与舒尔函子计算并分解高阶霍赫希尔德同调群？
• RQ5 外函子范畴在组织与简化高阶霍赫希尔德同调计算中起什么作用？

主要发现

• 以 L(𝕜[ε], 𝕜[ε]) 为系数的高阶霍赫希尔德同调同构于指数函子 Ψ𝕋̇_coalg†(𝕜) 在 𝕜 的一次张量余代数上的作用。
• Aut(ℤ⋆r) 在 HH*(Bℤ⋆r; L) 上的作用通过 Out(ℤ⋆r) 因子化，这为引入外函子范畴提供了合理性。
• 对于系数 L(𝕜[ε], 𝕜[ε])，同调分解为与分拆相关的舒尔函子的直和，其重数公式通过标准表的主指标显式给出。
• 利用特征零下的柯西恒等式，同调群被显式计算为对称幂与外幂的形式。
• 李模的分解表明，Sλ 出现在 Lie(n) 中当且仅当 λ 不是 (s)（s≥2）、(1t)（t≥3），或 (2²)、(2³)。
• Sλ 在 Lie(n) 中的重数等于形状为 λ 且主指标满足 ≡ i mod n 的标准表的个数，其中 (i,n)=1。