[论文解读] Higher order approximation for stochastic wave equation

Xing Liu, Weihua Deng|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对由加法型时空高斯噪声驱动的随机空间分数阶波动方程的高阶数值格式，结合谱伽辽金空间逼近与改进的随机三角时间积分器。在额外正则性假设下，该方法在时间方向实现了阶为2的强收敛率，显著优于现有方法。

ABSTRACT

The infinitesimal generator (fractional Laplacian) of a process obtained by subordinating a killed Brownian motion catches the power-law attenuation of wave propagation. This paper studies the numerical schemes for the stochastic wave equation with fractional Laplacian as the space operator, the noise term of which is an infinite dimensional Brownian motion or fractional Brownian motion (fBm). Firstly, we establish the regularity of the mild solution of the stochastic fractional wave equation. Then a spectral Galerkin method is used for the approximation in space, and the space convergence rate is improved by postprocessing the infinite dimensional Gaussian noise. In the temporal direction, when the time derivative of the mild solution is bounded in the sense of mean-squared $L^p$-norm, we propose a modified stochastic trigonometric method, getting a higher strong convergence rate than the existing results, i.e., the time convergence rate is bigger than $1$. Particularly, for time discretization, the provided method can achieve an order of $2$ at the expenses of requiring some extra regularity to the mild solution. The theoretical error estimates are confirmed by numerical experiments.

研究动机与目标

• 为具有分数阶拉普拉斯算子作为空间算子的随机空间分数阶波动方程开发一种高阶数值格式。
• 通过引入改进的随机三角方法，将时间方向的收敛率提升至超过标准的1.0阶。
• 通过在谱伽辽金框架中对无限维高斯噪声进行后处理，提升空间方向的收敛率。
• 在温和解的额外正则性条件下，建立严格的误差估计。
• 通过数值实验验证理论结果，确认改进的收敛率。

提出的方法

• 采用谱伽辽金方法进行空间半离散化，利用分数阶拉普拉斯算子的特征函数展开。
• 对无限维高斯噪声实施后处理，以提升伽辽金逼近的空间收敛率。
• 设计一种改进的随机三角积分器用于时间半离散化，其结构适配随机波动方程的特性。
• 在时间导数的温和解在均方 $L^p$-范数下有界的前提下，该方法在时间方向实现阶为2的强收敛率。
• 通过分数阶拉普拉斯算子关联的余弦与正弦算子的估计，推导理论误差界。
• 使用Cholesky分解模拟数值格式中随机积分所需的分数阶布朗运动增量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将随机空间分数阶波动方程数值格式的时间收敛率提升至超过1.0阶？
• RQ2 在随机PDE的谱伽辽金方法中，对噪声项进行后处理如何影响空间收敛率？
• RQ3 为实现时间方向阶为2的强收敛率，对温和解需要哪些正则性条件？
• RQ4 分数阶拉普拉斯算子的谱结构对数值格式的稳定性和收敛性有何影响？
• RQ5 如何在数值格式中高效且准确地模拟涉及分数阶布朗运动的随机积分？

主要发现

• 所提出的改进随机三角方法在时间方向实现了阶为2的强收敛率，优于标准的1.0阶。
• 通过在谱伽辽金框架中对无限维高斯噪声进行后处理，提升了空间收敛率。
• 理论误差估计表明，全局误差被控制在 $ \tau^2 \times \text{正则性项} $ 范围内，其中正则性项涉及初始数据在分数阶Sobolev空间中的性质。
• 当 $ \frac{d}{dt}u $ 在均方 $ L^p $-范数下有界且 $ \rho > 2\beta $ 时，可实现阶为2的收敛率，其中 $ \rho $ 为正则性指数。
• 数值实验验证了理论误差估计，展示了在空间和时间方向上均达到预期的收敛阶。
• 通过利用分数阶布朗运动的自相似性与增量平稳性所导出的协方差矩阵的Cholesky分解，高效地实现了分数阶布朗运动增量的模拟。