[论文解读] Higher Order Convergence Rates in Theory of Homogenization II: Oscillatory Initial Data

Sunghan Kim, Ki-Ahm Lee|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文在具有快速振荡初值的完全非线性一致抛物柯西问题的周期均摊化中建立了更高阶收敛速率。通过利用宏观正则性理论和指数衰减估计构造高阶初层校正项与内部校正项，作者得到了一个渐近展开式，该展开式能够捕捉初始时刻附近及内部的振荡行为，即使对于校正项随时间失去周期性的完全非线性算子也成立。

ABSTRACT

We establish higher order convergence rates in periodic homogenization of fully nonlinear uniformly parabolic Cauchy problems accompanied with rapidly oscillating initial data. Such result is new even for linear problems. Here we construct higher order initial layer and interior correctors, which describe the oscillatory behavior near the initial and interior time zone of the domain. To construct higher order correctors, we develop a regularity theory in macroscopic scales, and prove an exponential decay estimate for initial layer correctors. The higher order expansion requires an iteration process: successively correcting the initial layer, then the interior. This leads to a more complicated asymptotic expansion, as compared to the non-oscillating data case, and this complexity is present even in the linear case. A notable observation for fully nonlinear operators is that even if the given operator is space-time periodic, the interior correctors become aperiodic in the time variable as we proceed with the iteration process. Moreover, each interior corrector of higher order is paired with a space-time periodic version, and the difference between the two decays exponentially fast with time.

研究动机与目标

• 建立具有高度振荡初值的完全非线性一致抛物方程在周期均摊化中的更高阶收敛速率。
• 解决初值振荡时构造高阶校正项的挑战，这会导致初层校正项与内部校正项之间产生复杂耦合。
• 发展宏观尺度下的正则性理论，以处理问题的非线性和振荡结构。
• 证明初层校正项的指数衰减，并表明尽管高阶内部校正项在时间上非周期，但其与对应周期版本的差异随时间呈指数快速衰减。
• 将理论扩展至线性问题之外，证明即使对于线性方程，由于初值的振荡性，结果仍为新且非平凡的。

提出的方法

• 利用粘性解框架和指数衰减估计，构造捕捉初始时刻附近快速振荡的初层校正项。
• 为慢变量中的解发展宏观尺度正则性理论，以控制均摊极限下导数的增长。
• 引入一种迭代方法，依次校正初层与内部效应，考虑校正项之间的非线性耦合。
• 定义高阶内部校正项，即使原始算子具有周期性，其在时空上也不再是周期的，这是由于非线性结构所致。
• 为每个高阶内部校正项配对一个周期版本，并证明二者之差随时间呈指数衰减。
• 采用多尺度渐近展开方法，引入快变量（ε⁻¹x, ε⁻²t）与慢变量（x,t），以推导误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有振荡初值的完全非线性抛物方程均摊化中，最优收敛速率是什么？
• RQ2 当初值快速振荡时，如何系统地构造高阶校正项，从而导致初层与内部层之间复杂耦合？
• RQ3 当原始算子为时空周期但方程为完全非线性时，内部校正项的周期性会发生什么变化？
• RQ4 能否在完全非线性方程背景下为初层校正项建立指数衰减估计？
• RQ5 算子的非线性性如何影响高阶校正项的结构与衰减特性，相较于线性情形有何不同？

主要发现

• 本文为具有振荡初值的完全非线性抛物柯西问题的解建立了高阶渐近展开，实现了对任意 m ≥ 2 的收敛速率 ε^m。
• 构造了初层校正项并证明其随时间呈指数衰减，这对控制 t = 0 附近的误差至关重要。
• 由于非线性结构，即使原始算子为时空周期，高阶内部校正项在时间变量上也变为非周期。
• 每个高阶内部校正项均与一个周期版本配对，其差值随时间呈指数衰减，从而实现有效的误差控制。
• 该方法在 x ∈ ℝⁿ 与 t ∈ [0,T] 上对所有 ε ≤ 1/2 均给出了 ε 阶的定量误差估计。
• 该构造对线性与完全非线性方程均有效，且由于初值的振荡性，即使在经典线性情形下，结果仍为新且非平凡的。