[论文解读] Higher order degree in simplicial complexes, multi combinatorial Laplacian and applications of TDA to complex networks

Daniel Hernández Serrano, Darío Sánchez Gómez|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文引入了单纯复形中单纯形的高阶邻接度——下界、上界和广义邻接度，实现了对代理与社区的跨维比较。提出多参数边界算子与余边界算子，并构建了一种新颖的多组合拉普拉斯算子，该算子推广了经典算子，能够有效计算高阶邻接度，为通过拓扑数据分析研究复杂网络中的多代理协作提供了一种计算上可行的框架。

ABSTRACT

Many real networks in social, biological or computer sciences have an inherent structure of a simplicial complex, which reflects the multi interactions among agents (and groups of agents) and constitutes the basics of Topological Data Analysis. Normally, the relevance of an agent in a network of graphs is given in terms of the number of edges incident to it, its degree, and in a simplicial network there are already notions of adjacency and degree for simplices that, as far as we know, are not valid for comparing simplices in different dimensions. We propose new notions of higher order lower, upper and generalised adjacency degrees for simplices in a simplicial complex, allowing any dimensional comparison among them and their faces. New multi parameter boundary and coboundary operators in an oriented simplicial complex are also given and a novel multi combinatorial Laplacian is defined. These operators generalise the known ones and are proved to be an effective tool for calculating the higher order degrees here presented. Thus, this mathematical framework allows us to elucidate the relevance not only of an agent, but of a bunch of them as a simplicial community, and also to study the degree of collaboration between different communities in a simplicial complex. In addition, they are effective and programmable computational techniques. Some potential applications to simplicial Network Science are also proposed.

研究动机与目标

• 为解决单纯复形中单纯形相关性缺乏跨维比较方法的问题。
• 定义适用于不同单纯形维度的新型邻接与度的概念。
• 为定向单纯复形提出多参数边界与余边界算子。
• 构建一种新颖的多组合拉普拉斯算子，以推广经典拉普拉斯算子。
• 实现对复杂网络中社区相关性与跨社区协作的计算分析。

提出的方法

• 提出单纯形的高阶下界、上界与广义邻接度，实现跨维度比较。
• 在定向单纯复形中引入多参数边界与余边界算子。
• 定义一种推广标准组合拉普拉斯算子的多组合拉普拉斯算子。
• 利用新拉普拉斯算子高效计算高阶邻接度。
• 将该框架应用于分析个体代理与单纯形社区的相关性。
• 确保该框架在计算上高效且可编程，适用于现实世界网络应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单纯复形中对不同维度的单纯形相关性进行有意义的跨维比较？
• RQ2 多参数边界与余边界算子在高阶网络分析中扮演何种角色？
• RQ3 所提出的多组合拉普拉斯算子在捕捉高阶交互方面如何优于经典拉普拉斯算子？
• RQ4 该框架在何种方式下可量化单纯形社区之间的协作？
• RQ5 将该框架应用于真实复杂网络时，其计算与实际影响是什么？

主要发现

• 所提出的高阶邻接度使不同维度的单纯形可直接比较，克服了传统度概念的局限性。
• 多参数边界与余边界算子推广了经典算子，并与新拉普拉斯算子结构兼容。
• 多组合拉普拉斯算子能有效计算高阶邻接度，验证了其在拓扑网络分析中的实用性。
• 该框架支持识别相关代理与单纯形社区，包括跨群体的协作结构。
• 该方法在计算上高效且可编程，可实现网络科学中的实际应用。
• 该方法为通过拓扑数据分析研究复杂网络中的多代理交互提供了稳健的数学基础。