[论文解读] Higher order log-monotonicity of combinatorial sequences

Bao-Xuan Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新方法，利用三重递推关系分析组合序列中的高阶对数单调性。证明了德兰日、Motzkin、Fine、Franel 和 Domb 数的比值序列是比值对数凸的，并在特定条件下建立了德兰日数和广义二项式系数的无限对数单调性，扩展了关于卡塔兰数和中心二项式系数的先前结果。

ABSTRACT

A sequence $\{z_n\}_{n\geq0}$ is called ratio log-convex in the sense that the ratio sequence $\{\frac{z_{n+1}}{z_n}\}_{n\geq0}$ is log-convex. Based on a three-term recurrence for sequences, we develop techniques for dealing with the ratio log-convexity of ratio sequences. As applications, we prove that the ratio sequences of numbers, including the derangement numbers, the Motzkin numbers, the Fine numbers, Franel numbers and the Domb numbers are ratio log-convex, respectively. Finally, we not only prove that the sequence of derangement numbers is asymptotically infinitely log-monotonic, but also show some infinite log-monotonicity of some numbers related to the Gamma function, in particular, implying two results of Chen {\it et al.} on the infinite log-monotonicity of the Catalan numbers and the central binomial coefficients.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于分析组合序列中的高阶对数单调性。
• 研究关键组合数（如德兰日、Motzkin、Fine、Franel 和 Domb 数）的比值序列的比值对数凸性。
• 将 Chen 等人关于卡塔兰数和中心二项式系数的无限对数单调性结果，扩展到德兰日数和广义二项式系数。
• 为由变系数线性递推定义的序列的对数单调性提供统一的验证框架。

提出的方法

• 基于三重线性递推 $ z_{n+1} = a_n z_n + b_n z_{n-1} $，建立用于验证比值对数凸性的递推准则。
• 引入一个涉及函数 $ f(x) = [(a_{n+1}a_n + b_{n+1})x + a_{n+1}b_n](x - a_{n-1})x^6 - b_{n-1}(a_n x + b_n)^4 $ 的函数不等式条件，以验证比值对数凸性。
• 将该准则应用于证明德兰日、Motzkin、Fine、Franel 和 Domb 数的比值序列均为比值对数凸。
• 利用 Chen 等人的结果：若 $ [ ext{log} f(x)]^{(n)} $ 完全单调，则序列 $ f(n) $ 是无限对数单调的。
• 在条件 $ a \geq b + \overline{b} $ 和 $ -1 \leq k_0 - (n_0+1)b/a \leq 0 $ 下，将该准则应用于广义二项式系数 $ C_i = \frac{(n_0 + ia)!}{(k_0 + ib)! (\overline{k_0} + i\overline{b})!} $。
• 利用多ψ函数的积分表示，分析伽马函数表达式对数的 $ n $ 阶导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 德兰日、Motzkin、Fine、Franel 和 Domb 数的比值序列是否为比值对数凸？
• RQ2 德兰日数列是否为无限对数单调？
• RQ3 在何种条件下，广义二项式系数序列 $ \binom{n_0 + id}{k_0 + i\delta} $ 是无限对数单调的？
• RQ4 卡塔兰数和中心二项式系数的无限对数单调性是否可推广至其他组合序列？
• RQ5 何种条件可确保线性递推序列的比值序列本身为对数凸？

主要发现

• 德兰日数的比值序列是比值对数凸的，且该序列渐近地为无限对数单调。
• Motzkin、Fine、Franel 和 Domb 数的比值序列均为比值对数凸。
• 德兰日数列被证明是无限对数单调的，扩展了关于卡塔兰数和中心二项式系数的先前结果。
• 当 $ a \geq b + \overline{b} $ 且 $ -1 \leq k_0 - (n_0+1)b/a \leq 0 $ 时，广义二项式系数序列 $ C_i = \frac{(n_0 + ia)!}{(k_0 + ib)! (\overline{k_0} + i\overline{b})!} $ 为无限对数单调。
• Fuss-Catalan 数 $ C_p(n) = \frac{1}{(p-1)n+1} \binom{pn}{n} $ 对所有整数 $ p \geq 2 $ 均为无限对数单调。