[论文解读] Higher-order variational problems of Herglotz type with time delay

Simão P. S. Santos, Natália Martins+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文基于最优控制框架，将经典变分法推广至具有时滞的非保守系统，推导了高阶Herglotz型变分问题的更高阶Euler–Lagrange方程、DuBois–Reymond条件以及Noether型定理，关键贡献在于提出了广义Noether定理，可在存在时滞和高阶导数的情况下识别守恒量。

ABSTRACT

We study, using an optimal control point of view, higher-order variational problems of Herglotz type with time delay. Main results are higher-order Euler-Lagrange and DuBois-Reymond necessary optimality conditions as well as a higher-order Noether type theorem for delayed variational problems of Herglotz type.

研究动机与目标

• 将经典变分法推广至具有时滞的高阶Herglotz型问题，以实现对具有记忆效应的非保守系统的建模。
• 为这类时滞变分问题建立必要的最优性条件——特别是高阶Euler–Lagrange方程与DuBois–Reymond条件。
• 将Noether第一定理推广至具有时滞的高阶Herglotz问题，识别在对称性不变性下的守恒量。
• 通过构建适用于具有时滞状态与控制变量的系统的新框架，克服经典Noether理论在非保守系统中的局限性。
• 提供一种统一的基于最优控制的方法，推广先前关于一阶Herglotz时滞问题与高阶无时滞Herglotz问题的研究结果。

提出的方法

• 构建具有时滞的高阶Herglotz型变分问题，其中状态导数依赖于当前及至阶数 $ n $ 的状态及其导数的延迟值。
• 应用Pontryagin最大值原理，推导Herglotz问题最优控制形式的必要最优性条件。
• 通过分析泛函的变分并对方程组应用分部积分法，推导高阶Euler–Lagrange方程。
• 通过分析类似哈密顿结构的时间导数，建立DuBois–Reymond条件作为必要最优性条件。
• 通过定义自变量、状态及其导数在单参数变换下的不变性，推导广义Noether型定理，从而导出守恒量。
• 使用分段 $ C^n $ 函数，允许高阶导数存在间断，从而扩大允许解的函数类，超越连续函数的限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有时滞的高阶Herglotz型变分问题的必要最优性条件是什么？
• RQ2 DuBois–Reymond条件如何推广至具有时滞动力学的高阶Herglotz问题？
• RQ3 在何种条件下，问题关于单参数变换群的不变性可导致延迟Herglotz问题中的守恒量？
• RQ4 具有时滞的高阶Herglotz问题的Noether型定理如何推广先前关于一阶或无时滞情况的结果？
• RQ5 Noether定理中的守恒量能否显式表示为拉格朗日函数及其导数（包括延迟项）的表达式？

主要发现

• 本文推导出具有时滞的Herglotz型变分问题的高阶Euler–Lagrange方程，将经典结果推广至具有记忆效应与高阶导数的系统。
• 建立了DuBois–Reymond必要最优性条件，表明拉格朗日函数及其导数的某种组合在极值曲线上为常数。
• 证明了广义Noether型定理，表明问题在单参数变换群下的不变性意味着存在一个涉及当前与延迟状态导数的守恒量。
• 该守恒量被显式表达为时间不变的表达式，包含拉格朗日函数、其对状态导数与延迟导数的偏导数，以及对称群的无穷小生成元。
• 通过允许分段 $ C^n $ 函数，消除了对高阶导数连续性的限制，从而扩大了结果的应用范围。
• 该框架统一了先前关于一阶Herglotz时滞问题与高阶无时滞Herglotz问题的研究成果，将它们整合于单一最优控制方法之下。