[论文解读] Higher Rédei reciprocity and integral points on conics

Peter Koymans, Carlo Pagano|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文建立了关于满足二元二次型 $N_d(x,y) = l$ 在整数范围内有解的平方自由整数 $d$ 的密度的渐近公式，其中 $l$ 是满足 $l \equiv 3 \pmod{4}$ 的素数。在史密斯工作的基础上，推广了雷代伊互反律，作者推导出一个精确的密度 $\gamma = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2}}{2^{n+1} - 1}$，该密度刻画了在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的狭理想类群的 2-挠部分中，位于 $l$ 上方的理想是唯一关系的概率。该结果解决了史蒂文哈根关于负佩尔方程猜想的关键情形，并推广了对类群 2-主部分的研究。

ABSTRACT

Fix an integer $l$ such that $|l|$ is a prime $3$ modulo $4$. Let $d > 0$ be a squarefree integer and let $N_d(x, y)$ be the principal binary quadratic form of $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. Building on a breakthrough of Alexander Smith, we give an asymptotic formula for the solubility of $N_d(x, y) = l$ in integers $x$ and $y$ as $d$ varies among squarefree integers divisible by $l$. As a corollary we give, in case $l > 0$, an asymptotic formula for the event that the Hasse Unit Index of the field $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$ is $2$ as $d$ varies over all positive squarefree integers. We also improve the results of Fouvry and Klüners and recent results of Chan, Milovic and the authors on the solubility of the negative Pell equation. Our main new tool is a generalization of a classical reciprocity law due to Rédei.

研究动机与目标

• 确定满足方程 $N_d(x,y) = l$ 在整数范围内有解的平方自由整数 $d$ 的自然密度，其中 $l$ 是满足 $l \equiv 3 \pmod{4}$ 的素数。
• 推广雷代伊互反律，以研究实二次域的狭类群的 2-主部分的分布。
• 为满足特定条件的此类 $d$ 的比例建立一个精确的渐近公式，即 $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$ 的哈塞单位指标为 2 的情形。
• 改进并深化先前关于负佩尔方程和类群 4-秩分布的研究结果。

提出的方法

• 将雷代伊互反律推广至狭类群的更高 $2^n$-挠子群。
• 使用马尔可夫链模型来描述当 $d$ 遍历被 $l$ 整除的平方自由整数时，$\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$ 的 4-秩的分布。
• 定义概率 $\text{Pr}_{l,2}(n)$ 表示 $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$ 的 4-秩为 $n$ 的概率，并证明其等于 $\frac{1}{2^{n+1} - 1}$。
• 应用哈塞-闵可夫斯基定理，将 $\mathbb{Q}$ 上的可解性问题约化为局部条件，并利用型理论分析 $l$ 在型域中的分裂行为。
• 利用恒等式 $\sum_{n=0}^\infty 2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2} = 1$ 对密度测度进行归一化，并推导出最终的渐近公式。
• 通过马尔可夫链动力学对 $\liminf$ 和 $\limsup$ 的界限估计，证明极限 $\lim_{X \to \infty} \frac{|S_{\mathbb{Z},X,l}|}{|S_{\mathbb{Q},X,l}|} = \gamma$ 存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 满足 $N_d(x,y) = l$ 在整数范围内有解的平方自由整数 $d$ 的自然密度是多少？其中 $l$ 是满足 $l \equiv 3 \pmod{4}$ 的素数。
• RQ2 $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$ 的 4-秩如何影响 $N_d(x,y) = l$ 的可解性？
• RQ3 满足 $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$ 的哈塞单位指标为 2 的 $d$ 的渐近密度是多少？
• RQ4 广义雷代伊互反律在多大程度上控制了狭类群中 2-挠部分的分布？
• RQ5 素数 $l$ 对应于类群 2-挠部分中唯一关系的概率如何依赖于 4-秩？

主要发现

• 满足 $N_d(x,y) = l$ 在整数范围内有解的平方自由 $d$ 的渐近密度为 $\gamma = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2}}{2^{n+1} - 1}$，其中 $\eta_n = \prod_{j=1}^n (1 - 2^{-j})$。
• 在 $l \mid d$ 的条件下，$\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$ 的 4-秩为 $n$ 的概率恰好为 $\frac{1}{2^{n+1} - 1}$。
• 极限 $\lim_{X \to \infty} \frac{|S_{\mathbb{Z},X,l}|}{|S_{\mathbb{Q},X,l}|} = \gamma$ 存在且等于所给的无穷级数，从而解决了史蒂文哈根关于负佩尔方程猜想的关键情形。
• 当 $d$ 遍历被 $l$ 整除的平方自由整数时，$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的狭类群的 2-主部分的分布由一个马尔可夫链模型控制，其转移概率由 $\mathbb{F}_2$ 上的随机线性映射和配对导出。
• 该方法为 $l > 0$ 为满足 $l \equiv 3 \pmod{4}$ 的素数时，$\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$ 的哈塞单位指标为 2 的事件提供了新的渐近密度证明，并在该情形下验证了史蒂文哈根猜想的预测。
• 作者在福夫里–克吕纳、陈–米洛维奇–科伊马尔斯–帕加诺关于负佩尔方程的早期结果基础上，通过为 $d$ 遍历正平方自由整数时 $x^2 - dy^2 = -1$ 的可解性建立精确的渐近密度，实现了进一步的改进。