[论文解读] Higher-Rank Non-Abelian Tensor Field Theory: Higher-Moment or Subdimensional Polynomial Global Symmetry, Algebraic Variety, Noether's Theorem, and Gauge

Juven Wang, Kai Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Black Holes and Theoretical Physics被引用 15

一句话总结

本文引入了n维空间中度-(m−1)的高阶矩多项式全局对称性，通过嵌入与叶状结构将其与代数仿射子流形上的子维对称性联系起来。通过推广诺特定理并规范该对称性，推导出一类新的非阿贝尔秩-m张量规范理论，包括统一对称张量规范场与反对称拓扑场论的混合框架。

ABSTRACT

With a view toward a theory of fracton and embeddon in condensed matter, we introduce a higher-moment polynomial degree-(m-1) global symmetry, acting on complex scalar/vector/tensor fields. We relate this higher-moment global symmetry of $n$-dimensional space, to a lower degree (either ordinary or higher-moment, e.g., degree-(m-1-$\ell$)) subdimensional or subsystem global symmetry on layers of $(n-\ell)$-submanifolds. These submanifolds are algebraic affine varieties (i.e., solutions of polynomials). The structure of layers of submanifolds as subvarieties can be studied via mathematical tools of embedding, foliation and algebraic geometry. We also generalize Noether's theorem for this higher-moment polynomial global symmetry. We can promote the higher-moment global symmetry to a local symmetry, and derive a new family of higher-rank-m symmetric tensor gauge theory by gauging. By further gauging a discrete charge conjugation symmetry, we derive a new more general class of non-abelian rank-m tensor gauge field theory: a hybrid class of (symmetric or non-symmetric) higher-rank-m tensor gauge theory and anti-symmetric tensor topological field theory, generalizing [arXiv:1909.13879]'s theory interplaying between gapless and gapped sectors.

研究动机与目标

• 在n维空间中张量场之上建立度-(m−1)的高阶矩多项式全局对称性。
• 将此全局对称性与(n−ℓ)维子流形上的低次子维或子系统对称性关联，这些子流形为代数仿射概形。
• 为该高阶矩对称性推广诺特定理，并使其可规范为局域对称性。
• 通过将全局对称性提升为局域对称性，构建一族新的高阶秩-m对称张量规范理论。
• 通过规范离散的电荷共轭对称性扩展该框架，得到统一了能隙与无能隙区段的混合非阿贝尔秩-m张量规范理论。

提出的方法

• 运用代数几何、嵌入理论与叶状结构工具，分析作为多项式方程解的(n−ℓ)维子流形层。
• 在n维空间中定义作用于复标量场、向量场或张量场的度-(m−1)多项式全局对称性。
• 利用变分原理推导高阶矩全局对称性的广义诺特当前与守恒律。
• 通过标准规范程序将全局对称性提升为局域对称性，从而得到高阶秩-m对称张量规范理论。
• 引入离散电荷共轭对称性并对其进行规范，生成结合对称张量规范场与反对称拓扑场论的混合理论。
• 利用代数簇框架刻画子维对称性层的几何结构及其在全局对称性实现中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地定义n维空间中度-(m−1)的高阶矩多项式全局对称性，并将其与低维子流形上的子维对称性关联？
• RQ2 该高阶矩全局对称性的诺特定理广义形式为何？其如何导出守恒流？
• RQ3 此类对称性的规范化如何导致一致的高阶秩-m张量规范理论？
• RQ4 具体而言，哪些几何结构——特别是代数仿射概形——自然地作为支持子维对称性的子流形出现？
• RQ5 通过规范额外的离散对称性，能否统一对称张量规范场与反对称拓扑场论？其结果物理特性为何？

主要发现

• 在n维空间的张量场之上定义了度-(m−1)的高阶矩多项式全局对称性，推广了标准全局对称性。
• 该对称性被证明可在(n−ℓ)维子流形上诱导出低次全局对称性，这些子流形为代数仿射概形，是多项式方程的解。
• 推导出广义诺特定理，得到与高阶矩对称性相关的守恒流，扩展了标准诺特程序。
• 规范高阶矩全局对称性后，得到一族新的高阶秩-m对称张量规范理论，为这类对称性提供了场论实现。
• 通过进一步规范离散电荷共轭对称性，理论将对称张量规范场与反对称拓扑场论统一为混合非阿贝尔秩-m张量规范理论。
• 该框架揭示，支持子维对称性的子流形自然地描述为代数簇，可通过嵌入与叶状结构技术实现几何分类。