[论文解读] Higher string topology on general spaces

Po Hu|ArXiv.org|Jan 8, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过构造一个谱 $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$，将弦拓扑推广到高维流形和有限 CW 复形，其奇异链复形在 $\mathcal{C}_k$-代数中的 Hochschild 上同调结构下成为 $\mathcal{C}_{k+1}$-代数。关键结果建立了该链复形与 $C^*X$ 和 $C_*\Omega^kX$ 的 Hochschild 上同调之间的同伦等价，将 Chas-Sullivan 和 Cohen-Jones 的结果推广到任意有限维单纯复形。

ABSTRACT

In this paper, I give a generalized analogue of the string topology results of Chas and Sullivan, and of Cohen and Jones. For a finite simplicial complex $X$ and $k \geq 1$, I construct a spectrum $Maps(S^k, X)^{S(X)}$, and show that the corresponding chain complex is naturally homotopy equivalent to an algebra over the $(k+1)$-dimensional unframed little disk operad $\mathcal{C}_{k+1}$. I also prove Kontsevich's conjecture that the Quillen cohomology of a based $\mathcal{C}_k$-algebra (in the category of chain complexes) is equivalent to a shift of its Hochschild cohomology, as well as prove that the operad $C_{\ast}\mathcal{C}_k$ is Koszul-dual to itself up to a shift in the derived category. This gives one a natural notion of (derived) Koszul dual $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras. I show that the cochain complex of $X$ and the chain complex of $Ω^k X$ are Koszul dual to each other as $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras, and that the chain complex of $Maps(S^k, X)^{S(X)}$ is naturally equivalent to their (equivalent) Hochschild cohomology in the category of $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras.

研究动机与目标

• 将 Chas-Sullivan 的弦拓扑和 Cohen-Jones 的同伦理论实现推广到一般有限维单纯复形上的高维类比。
• 在任意有限 CW 复形 $X$ 上，建立 Thom 谱 $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ 的链复形上 $\mathcal{C}_{k+1}$-代数结构。
• 证明该链复形在 $\mathcal{C}_k$-代数范畴中自然同伦等价于 $C^*X$ 的 Hochschild 上同调复形。
• 验证 Kontsevich 关于基于 $\mathcal{C}_k$-代数中 Quillen 上同调与 Hochschild 上同调之间移位等价性的猜想。
• 建立 $\mathcal{C}_k$ 操作律在移位意义下自对偶的同伦 Koszul 对偶性，从而定义 $\mathcal{C}_k$-代数的同伦 Koszul 对偶性。

提出的方法

• 通过将单纯复形嵌入 $S^N$ 构造一个关于 $X$ 的参数化谱 $S(X)$，以建模一般单纯复形的稳定法丛。
• 将 Thom 谱 $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ 定义为相对于 $S(X)$ 的映射空间的悬垂谱，推广 Thom 构造。
• 证明 $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ 在 $\mathcal{C}_k$-代数范畴中自然同伦等价于 Hochschild 上同调复形 $HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X)$。
• 利用文献 [9] 的结果：$\mathcal{C}_k$-代数中的 Hochschild 上同调复形自然具有 $\mathcal{C}_{k+1}$-代数结构，从而得出 $\mathcal{C}_{k+1}$-代数结构。
• 在 $\mathcal{C}_k$-代数的同伦范畴中应用 Koszul 对偶理论，将 $C^*X$ 与 $C_*\Omega^kX$ 关联为 Koszul 对偶。
• 使用 Eilenberg-Moore 族谱和配置空间模型，证明 $\mathcal{C}_k$-代数的非基于 Hochschild 上同调在同伦 Koszul 对偶下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 Chas 和 Sullivan 的弦拓扑运算能否从二维带框架的圆盘推广到一般有限 CW 复形上的高维无框架小圆盘操作律 $\mathcal{C}_k$？
• RQ2 对于任意有限维单纯复形 $X$，Thom 谱 $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ 的链复形是否自然地成为 $\mathcal{C}_{k+1}$-代数？
• RQ3 $C^*X$ 在 $\mathcal{C}_k$-代数范畴中的 Hochschild 上同调是否恢复了 $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ 上的 $\mathcal{C}_{k+1}$-代数结构？
• RQ4 Kontsevich 的猜想是否成立：在基于 $\mathcal{C}_k$-代数中，Quillen 上同调是否等价于 Hochschild 上同调的移位？
• RQ5 $\mathcal{C}_k$ 操作律是否在移位意义下自对偶，且该对偶性是否保持 Hochschild 上同调？

主要发现

• 对于任意有限 CW 复形 $X$ 和 $k \geq 1$，链复形 $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$ 自然地成为 $\mathcal{C}_{k+1}$-代数，将 Batalin-Vilkovisky 结构推广到高维。
• 存在自然的同伦等价 $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)} \simeq HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X)$，表明 Thom 谱链复形同构于 $\mathcal{C}_k$-代数范畴中系数代数 $C^*X$ 的 Hochschild 上同调。
• $C^*X$ 的系数代数与基于环路空间的链复形 $C_*\Omega^kX$ 在 $\mathcal{C}_k$-代数的同伦范畴中互为 Koszul 对偶，推广了 Cohen 在 $k=1$ 时的猜想。
• Kontsevich 的猜想已得证明：在基于 $\mathcal{C}_k$-代数中，Quillen 上同调等价于 Hochschild 上同调的移位，具体为 $\mathrm{Quillen}^i \simeq \mathrm{HH}^{i+k}$。
• $\mathcal{C}_k$ 操作律在移位意义下自对偶，建立了其自对偶性，从而为 $\mathcal{C}_k$-代数定义了同伦 Koszul 对偶性。
• 非基于 $\mathcal{C}_k$-代数的 Hochschild 上同调在同伦 Koszul 对偶下保持不变，即 $HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X) \simeq HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C_*\Omega^kX)$，这蕴含了对 $k+1$-连通复形的主要推论。