[论文解读] Higher Tits indices of algebraic groups

Viktor Petrov, Nikita Semenov|ArXiv.org|Jun 19, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文通过分析其在域扩张上的行为，利用Chow上同调、Steenrod运算和$J$-不变量，引入并分类了例外代数群的高阶Tits指标——具体为类型$\mathrm{F}_4$、${}^1\mathrm{E}_6$和$\mathrm{E}_7$。主要贡献是针对Tits代数为平凡的群，完成了所有可能的高阶Tits指标的完整分类，从而为$\mathrm{E}_7$-型群的Rost不变量核的平凡性提供了简短证明。

ABSTRACT

Let G be a semisimple algebraic group over a field k. We introduce the higher Tits indices of G as the set of all Tits indices of G over all field extensions K/k. In the context of quadratic forms this notion coincides with the notion of the higher Witt indices introduced by M. Knebusch and classified by N. Karpenko and A. Vishik. We classify the higher Tits indices for exceptional algebraic groups. Our main tools involve the Chow groups and the Chow motives of projective homogeneous varieties, Steenrod operations, and the notion of the J-invariant of algebraic groups.

研究动机与目标

• 定义并系统研究半单代数群在域扩张上的高阶Tits指标。
• 对类型为$\mathrm{F}_4$、${}^1\mathrm{E}_6$和$\mathrm{E}_7$且Tits代数为平凡的例外群，分类所有可能的高阶Tits指标。
• 建立例外群的分裂行为与射影齐次流形上度为1的零循环存在性之间的联系。
• 为$\mathrm{E}_7$-型群的Rost不变量核的平凡性提供一种新的、简明的证明。

提出的方法

• 利用代数群的$J$-不变量来度量旗流形Chow环中理性循环的大小。
• 在Chow理论中应用Steenrod运算，以分析在域扩张上的动机不变量和分裂行为。
• 利用射影齐次流形的Chow动机，将分类问题约化为Chow环的子环问题。
• 将$\mathrm{E}_7$-群中类型为$\mathrm{D}_6$的各向同性核的存在性，约化为某些各向同性流形上度为1的零循环的存在性。
• 利用[GS08]中关于零循环的结果以及Rost不变量理论，推导出群分裂行为的结构约束。
• 利用函数域上流形的动机分解，分析$\mathrm{CH}_0$上的度映射，从而排除度为1的零循环的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 半单代数群$G$在域扩张$K/k$上可能实现的所有Tits指标是什么？
• RQ2 $J$-不变量如何控制例外群的分裂行为和高阶Tits指标？
• RQ3 在何种条件下，$\mathrm{E}_7$-型群在某个域扩张上会存在类型为$\mathrm{D}_6$的半单各向同性核？
• RQ4 当射影齐次流形上存在度为1的零循环时，何时能推出对应群的各向同性？
• RQ5 Rost不变量的平凡性与$\mathrm{E}_7$-型群的各向同性之间的确切关系是什么？

主要发现

• 对于$J_2 = (0)$的$\mathrm{F}_4$，高阶Tits指标为$\{1, \mathrm{F}_4\}$；对于$J_2 = (1)$，为$\{1, \mathrm{B}_3, \mathrm{F}_4\}$。
• 对于${}^1\mathrm{E}_6$，当$J_2 = (0), J_3 = (0,1)$时，高阶Tits指标为$\{1, \mathrm{E}_6\}$。
• 当$J_2 = (1), J_3 = (0,*)$时，指标为$\{1, \mathrm{D}_4, \mathrm{E}_6\}$；当$J_2 = (0), J_3 = (j_1,*), j_1 \neq 0$时，指标为$\{1, 2\mathrm{A}_2, \mathrm{E}_6\}$。
• 对于$\mathrm{E}_7$，当Tits代数为平凡且$\mathrm{char}\,k \neq 2,3$时，高阶Tits指标$\Omega(G)$包含$\{1, \mathrm{D}_4, \mathrm{D}_6, \mathrm{E}_7\}$，这意味着存在一个域扩张使得$G_K$具有$\mathrm{D}_6$核。
• $J$-不变量决定了$\mathrm{D}_4$-核的存在性：$\mathrm{D}_4 \in \Omega(G)$当且仅当$J_2(G)$非平凡。
• 本文提供了一个简短证明，表明$\mathrm{E}_7$-型群的Rost不变量核是平凡的，该证明基于$\mathrm{D}_6$-核的存在性以及Arason不变量的性质。