[论文解读] Hilbert-Kunz functions of surface rings of type ADE

Daniel Brinkmann|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 96被引用 4

一句话总结

本文计算了在正特征代数闭域上二维 ADE 型（A_n, D_n, E_6, E_7, E_8）表面环的 Hilbert-Kunz 函数。通过矩阵分解与 Syzygy 模理论，建立了 Hilbert-Kunz 函数的显式公式，并证明 Hilbert-Kunz 重数为 2 - 1/|G|，其中 G 是 SL(2,C) 的相应有限子群。该工作首次完整计算了正特征下所有 ADE 表面奇点的这些函数。

ABSTRACT

In this thesis we compute the Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE by using representations of their indecomposable, maximal Cohen-Macaulay modules in terms of matrix factorizations, and as first syzygy modules of homogeneous ideals. For these computations we need to compute the Hilbert-series of the involved first syzygy modules as well as the fact that the surface rings of type ADE defined over the complex numbers are the rings of invariants of C[x,y] under actions defined by the finite subgroups of SL2(C). Finally, we will show that the developed tools can be used to compute Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE with respect to other (monomial) ideals than the maximal. Moreover, Hilbert-Kunz functions of two-dimensional Fermat rings can be computed by the same method. There is also a paper, named "The Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE", which gives a survey of main ideas and results. Moreover, the main theorem from Monskys paper "The Hilbert-Kunz multiplicity of an irreducible trinomial" will be generalized to a non-standard graded situation. This result will be used to study the behavior of the Hilbert-Kunz multiplicity in degenerations of the hypersurface rings defnied by those specific trinomials. Once more I want to thank my supervisor Holger Brenner for his guidance and friendship during the years.

研究动机与目标

• 计算正特征下所有二维 ADE 型（A_n, D_n, E_6, E_7, E_8）表面环的 Hilbert-Kunz 函数。
• 确定这些环的 Hilbert-Kunz 重数，并确认其等于 2 - 1/|G|，其中 G 是 SL(2,C) 的相应有限子群。
• 在 Hilbert-Kunz 理论背景下，建立 Syzygy 线丛几何与矩阵分解代数结构之间的联系。
• 通过 Knörrer 的周期性定理将结果推广至高维环，并分析此类情形下 Syzygy 模的自由性。

提出的方法

• 利用矩阵分解描述 ADE 型超曲面环上的极大 Cohen-Macaulay 模。
• 应用单项理想第一 Syzygy 模理论计算 Hilbert 级数并推导 Hilbert-Kunz 函数。
• 利用 Frobenius 拉回与向量丛的稳定性条件，分析正特征下 Syzygy 模的行为。
• 使用 Han 的 δ-函数与极限 Hilbert-Kunz 重数，检测 Syzygy 模的非半稳定性与分裂行为。
• 应用 Knörrer 的周期性定理，将高维环的 Hilbert-Kunz 函数与 ADE 表面环的函数关联起来。
• 通过 CoCoA 实现计算代数，以验证关键结果，如关于有理逼近中下取整函数的推论 2.31。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，A_n, D_n, E_6, E_7 和 E_8 型表面环的 Hilbert-Kunz 函数的显式形式是什么？
• RQ2 在 ADE 环中，单项理想的 Syzygy 模在 Frobenius 幂足够大时，在何种条件下成为自由模或分裂模？
• RQ3 ADE 表面环的 Hilbert-Kunz 重数是否恒等于 2 - 1/|G|？其与特征为零时 SL(2,C) 中的群 G 的关系如何？
• RQ4 通过 Knörrer 周期性构造的高维环的 Hilbert-Kunz 函数是否可由 ADE 表面情形导出？
• RQ5 在 ADE 环中，单项理想的 Syzygy 模在何种情况下是 Cohen-Macaulay 或自由模？这与 δ-函数和有理逼近有何关联？

主要发现

• A_n 环的 Hilbert-Kunz 函数被显式计算，并证明其为周期整除 n+1 的拟多项式。
• 对于 n ≥ 4 的 D_n 环，Hilbert-Kunz 函数通过拉回与 Syzygy 模确定，周期整除 2n。
• E_6, E_7 和 E_8 环的 Hilbert-Kunz 重数被确认为 2 - 1/|G|，其中 |G| 分别为 120, 180 和 240。
• 在特征 5 下，E_8 环中 (X^100, Y^100, Z^75) 的 Syzygy 模分裂为 R(-135) ⊕ R(-140)，导致 HK(I,R,5^e) = (2928/25)·25^e 对于 e ≥ 2。
• 对于环 R = k[X,Y,Z]/(X^3 + Y^3 + Z^4)，Hilbert-Kunz 函数满足 HK(R,5^e) = (61/25)·25^e，验证了重数公式。
• 高维环 T = k[U_1,…,U_n,X,Y,Z]/(∑U_i^2 + F(X,Y,Z)) 中极大理想 Syzygy 模的 Hilbert 级数被计算，并证明其具有负系数，从而表明其非 Cohen-Macaulay。