[论文解读] Hochschild Cohomology, Modular Tensor Categories, and Mapping Class Groups

Simon Lentner, Svea Nora Mierach+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 50被引用 4

一句话总结

本文通過導出函子構造，建立了映射類群在有限模張量分類的霍赫希爾德上同調上的投射作用。透過在邊界分量上插入單位對象的投射化解析，作者構造了一個上鏈複形，其上同調攜帶映射類群的作用，並作為特殊情況恢復了環面與可分解ribbon霍普夫代數的已知結果。

ABSTRACT

Given a finite modular tensor category, we associate with each compact surface with boundary a cochain complex in such a way that the mapping class group of the surface acts projectively on its cohomology groups. In degree zero, this action coincides with the known projective action of the mapping class group on the space of chiral conformal blocks. In the case that the surface is a torus and the category is the representation category of a factorizable ribbon Hopf algebra, we recover our previous result on the projective action of the modular group on the Hochschild cohomology groups of the Hopf algebra.

研究动机与目标

• 將映射類群在共形塊上的投射作用推廣至非半單設定下的導出上同調群。
• 將先前關於可分解ribbon霍普夫代數的霍赫希爾德上同調結果推廣至一般有限模張量分類。
• 提供一個系統性的框架，利用導出塊空間構造映射類群表示。
• 透過固定基點避免基本群作用中的共軛模糊性，改進拓撲場論中的標準方法。

提出的方法

• 透過在輔助邊界分量插入單位對象的投射化解析，利用塊空間的導出函子構造上鏈複形。
• 使用封閉同態將輔助邊界封閉，並證明其上同調在該操作下不變。
• 應用Birman正合序列，將帶有與不帶輔助邊界之曲面的映射類群關聯起來。
• 利用塊空間的函子性，將映射類群的投射作用誘導至複形的上同調上。
• 透過對偶元誘導的鏈映射，建立不同雙模結構下霍赫希爾德上同調群之間的同構。
• 證明同構在模群作用下的交換性，確保與投射表示的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將映射類群在共形塊上的投射作用推廣至非半單分類中的高階上同調群？
• RQ2 模張量分類中塊空間的導出函子能否支持映射類群的一致投射作用？
• RQ3 可分解ribbon霍普夫代數的霍赫希爾德上同調與其表示分類的導出塊空間之間有何關係？
• RQ4 透過真空傳播技術在輔助邊界分量插入投射化解析，如何在上同調上保持映射類群作用？
• RQ5 模群在HH^m(A, A)與HH^m(A, Lε)上的投射表示是否同構？若是，該同構如何實現？

主要发现

• 導出塊空間構造的上同調群攜帶映射類群的投射作用，推廣了零度下已知的共形塊上的作用。
• 對於環面與可分解ribbon霍普夫代數的表示分類，導出塊空間恢復了霍赫希爾德上同調群，且映射類群作用與HH^m(A, A)上的投射SL(2,Z)-作用一致。
• 透過對偶元誘導的雙模扭轉，建立了HH^m(A, Lε)與HH^m(A, A)之間的同構，且該同構在模群作用下保持交換性。
• 透過真空傳播技術引入的輔助邊界分量可在上同調上一致封閉，確保映射類群作用的不變性。
• 透過在基本群中固定基點，避免了基點共軛問題，使對同倫類的作用更為清晰。
• HH^m(A, Lε)上的投射表示與HH^m(A, A)上的表示同構，確認與[LMSS1]中先前結果的一致性。