[论文解读] Hochschild Cohomology versus De Rham Cohomology without Formality Theorems

Vasiliy Dolgushev|ArXiv.org|May 10, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 6

一句话总结

该论文通过使用 Fedosov-Weinstein-Xu 分解而不借助形式性定理，建立了辛流形上函数的量子代数的 Hochschild 上同调环与系数在 $\mathbb{C}((\hbar))$ 上的 De Rham 上同调环之间的同构。关键结果是，De Rham 上同调上诱导的 Gerstenhaber 李括号恒为零，从而确认了辛情形下的平凡结构。

ABSTRACT

We exploit the Fedosov-Weinstein-Xu (FWX) resolution proposed in q-alg/9709043 to establish an isomorphism between the ring of Hochschild cohomology of the quantum algebra of functions on a symplectic manifold M and the ring H(M, C((h))) of De Rham cohomology of M with the coefficient field C((h)) without making use of any version of the formality theorem. We also show that the Gerstenhaber bracket induced on H(M,C((h))) via the isomorphism is vanishing. We discuss equivariant properties of the isomorphism and propose an analogue of this statement in an algebraic geometric setting.

研究动机与目标

• 通过不依赖形式性定理的方法，建立辛流形上函数的量子代数的 Hochschild 上同调与系数在 $\mathbb{C}((\hbar))$ 上的 De Rham 上同调之间的环同构。
• 证明通过该同构在 De Rham 上同调上诱导的 Gerstenhaber 括号是平凡的（即为零）。
• 分析该同构在辛变换下的等变性质，并将结果推广至代数几何设定。
• 为辛情形下的上同调同构提供一种简化且直接的证明，与形式性定理所采用的更为复杂的同伦理论方法形成对比。

提出的方法

• 利用辛流形上函数的量子代数的 Hochschild 上链复形的 Fedosov-Weinstein-Xu (FWX) 分解。
• 通过 FWX 分解，构造 Hochschild 上链复形与系数在 $\mathbb{C}((\hbar))$ 上的 De Rham 复形之间的拟同构。
• 证明 Hochschild 上同调上的杯积结构通过该同构对应于 De Rham 上同调上的楔积结构。
• 通过分析同构的代数结构，证明 De Rham 上同调上诱导的 Gerstenhaber 括号恒为零。
• 为形式 Weyl 代数的 Hochschild 复形引入一个等变同伦算子，确保其与 $GL(2n,\mathbb{C})$ 作用相容。
• 应用谱序列技术和同调代数方法，计算 Weyl 代数的 Hochschild 上同调，表明其在度数 0 处为 $\mathbb{C}((\hbar))$，其余度数为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不使用 Kontsevich 的形式性定理的前提下，建立 Hochschild 上同调与 De Rham 上同调之间的同构？
• RQ2 当通过 Hochschild-De Rham 同构拉回时，De Rham 上同调上的 Gerstenhaber 括号的代数结构是什么？
• RQ3 该上同调同构及其代数结构在辛微分同胚或 $GL(2n,\mathbb{C})$ 作用下如何变换？
• RQ4 该同构能否推广到代数几何设定，例如具有辛结构的代数簇？

主要发现

• 通过 FWX 分解，辛流形上函数的量子代数的 Hochschild 上同调环与系数在 $\mathbb{C}((\hbar))$ 上的 De Rham 上同调环之间存在同构，且无需使用形式性定理。
• 该同构在 De Rham 上同调上诱导的 Gerstenhaber 括号恒为零，表明其李代数结构是平凡的。
• 该同构与 $GL(2n,\mathbb{C})$ 的作用相容，且证明中使用的同伦算子是 $GL(2n,\mathbb{C})$-等变的。
• 形式 Weyl 代数 $W$ 的 Hochschild 上同调在度数 0 处为 $\mathbb{C}((\hbar))$，其余度数为零，且构造了显式的同伦算子。
• 在该同构下，Hochschild 上同调上的杯积精确对应于 De Rham 上同调上的楔积，保持了环结构。