[论文解读] Hochschild homology and the derived de Rham complex revisited

Arpon Raksit|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文通过使用同伦一致的余链复和带过滤的圆作用等高级同伦理论结构，为导出 de Rham 复形与 Hochschild 同调的 Hochschild–Kostant–Rosenberg（HKR）过滤建立了普遍性质。它提供了一个概念性框架，统一并重新证明了经典地在 Hochschild 同调、负循环同调与周期循环同调之间，以及导出 de Rham 上同调之间的关系，通过这些普遍特征实现。

ABSTRACT

We characterize two objects by universal property: the derived de Rham complex and Hochschild homology together with its Hochschild-Kostant-Rosenberg (HKR) filtration. This involves endowing these objects with extra structure, built on notions of "homotopy-coherent cochain complex" and "filtered circle action" that we study here. We use these universal properties to give a conceptual proof that the associated graded of the HKR filtration identifies with the derived de Rham complex, as well as to give a new construction of the filtrations on cyclic, negative cyclic, and periodic cyclic homology that relate these invariants to derived de Rham cohomology.

研究动机与目标

• 在导出代数几何中，为导出 de Rham 复形与 HKR 过滤的 Hochschild 同调提供一个概念性、普遍性的刻画。
• 通过普遍性质统一已知的 Hochschild 同调、负循环同调与周期循环同调之间，以及导出 de Rham 上同调之间的关系。
• 引入并发展必要的代数结构——同伦一致余链复形与带过滤的圆作用——以在 ∞-范畴设定下表述这些普遍性质。
• 给出一种新的、概念性的构造方法，用于定义与导出 de Rham 上同调相关的循环同调、负循环同调与周期循环同调的过滤。
• 利用这些普遍结构，将经典的 HKR 定理与 de Rham 比较同构推广到导出设定中。

提出的方法

• 本文引入了 h⁺-微分分次 A-模的概念，以将导出 de Rham 上同调建模为经典 de Rham 复形的导出版本，其中项为 LΩⁱ_{B/A} 而非 Ωⁱ_{B/A}。
• 它将导出 de Rham 复形定义为具有完全递减 Z≥0-过滤的 E∞-A-代数，并通过其普遍性质刻画：即从 B 到任意严格交换分次 A-代数的零次项的映射均可唯一延拓。
• 它通过 Tate 构造与带过滤的圆的导出双余交换双代数结构，在 Hochschild 同调上构造了带过滤的圆作用。
• 它引入了带过滤的轨道与带过滤的固定点的概念，通过 S¹-固定点将 HKR 过滤的 Hochschild 同调与负循环同调及周期循环同调联系起来。
• 它利用导出 de Rham 复形的普遍性质与带过滤的圆作用的结构，定义了 Adams 变换，并将其与导出 de Rham 复形上的 ℓ-次幂映射联系起来。
• 它证明了在 Hochschild 同调与负循环同调上，带过滤的 Adams 变换的伴随分次等价于 h⁺-微分分次结构 {ℓ*}，从而建立了关键的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 ∞-范畴设定下，通过带过滤的 E∞-代数与同伦一致余链复形，普遍刻画导出 de Rham 复形？
• RQ2 HKR 过滤的 Hochschild 同调的精确普遍性质是什么？该性质能够捕捉其在连接循环同调与导出 de Rham 上同调中的作用吗？
• RQ3 带过滤的圆作用与 Tate 构造如何为负循环同调与周期循环同调的过滤提供一个概念性框架？
• RQ4 Hochschild 同调与负循环同调上的 Adams 变换在何种意义上对应于导出 de Rham 复形上的 ℓ-次幂映射？
• RQ5 导出 de Rham 复形的普遍性质如何恢复经典 Hodge 过滤及其伴随分次作为导出微分形式的移位？

主要发现

• 导出 de Rham 复形 dR∧_{B/A} 被普遍刻画为初始 E∞-A-代数，具有完全递减的 Z≥0-过滤，且其零次分次项为 B。
• HKR 过滤的 Hochschild 同调 HH_fil(B/A) 被普遍刻画为具有相容 h⁺-dg 结构与从 B 到零次项的映射的带过滤 E∞-A-代数范畴中的初始对象。
• 带过滤的 Hochschild 同调的伴随分次等价于作为 h⁺-dg A-代数的导出 de Rham 复形，满足 gr_i(HH_fil(B/A)) ≃ LΩ^{+•}_{B/A}[−i]。
• Hochschild 同调与负循环同调上的 Adams 变换在伴随分次上诱导的映射，自然同构于 h⁺-微分分次结构 {ℓ*}，后者对应于导出 de Rham 复形上的 ℓ-次幂映射。
• 负循环同调与周期循环同调的过滤通过带过滤的 Hochschild 同调的 S¹-固定点构造，其伴随分次被证明与导出 de Rham 上同调相容，依据其普遍性质。
• 本文通过将经典比较同构（Hochschild 同调与导出 de Rham 上同调之间）简化为导出 de Rham 复形的普遍性质与带过滤的圆作用结构，提供了该同构的新概念性证明。