[论文解读] Hochschild Lefschetz Class for $D$-modules

Ajay C. Ramadoss, Xiang Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文为紧致复流形上的 $\mathcal{D}$-模引入了 Hochschild Lefschetz 类，通过群作用将 Hochschild 类推广至等变设置。它建立了直接像相容性，并证明了关于 $\Gamma$-等变 $\mathcal{D}$-模的轨道 Riemann-Roch 公式，将欧拉类表示为轨道陈特征、法丛的欧拉类以及惯性轨道的 Todd 类的组合。

ABSTRACT

We introduce a notion of Hochschild Lefschetz class for a good coherent D-module on a compact complex manifold, and prove that this class is compatible with the direct image functor. We prove an orbifold Riemann-Roch formula for a D-module on a compact complex orbifold.

研究动机与目标

• 将 $\mathcal{D}$-模的 Hochschild 类推广至涉及复流形上群作用的等变设置。
• 在全纯群作用下，为 $\mathcal{D}$-模定义 Hochschild Lefschetz 类，扩展 Kashiwara-Schapira 的构造。
• 建立 Hochschild Lefschetz 类与直接像函子的相容性。
• 为紧致复轨道上的 $\Gamma$-等变凝聚 $\mathcal{D}$-模推导出轨道 Riemann-Roch 公式。
• 证明通过交叉积代数 $\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$ 定义的抽象类与新定义的轨道 Hochschild 类等价。

提出的方法

• 为 $M$ 上的全纯微分同胚 $\gamma$，在 $H^0(X, \mathcal{H}\mathcal{H}(\widehat{\mathcal{E}}_X, \widehat{\mathcal{E}}_X^\gamma))$ 中定义 Hochschild Lefschetz 类 $hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$，作为标准 Hochschild 类的推广。
• 通过到 $\iota_!({\mathbb{C}}_{X^\gamma}[\dim(X^\gamma)])$ 的拟同构，将 Lefschetz 类定义为 $hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$ 的像。
• 利用 $X = T^*M$ 上形式微分算子层 $\widehat{\mathcal{E}}_X$ 的微局部技术。
• 为 $\Gamma$-等变 $\mathcal{D}$-模 $\mathcal{M}$，通过 $\frac{1}{|\Gamma|}\sum_{\gamma \in \Gamma} hh^\gamma(\mathcal{M}, \gamma)$ 定义轨道 Hochschild 类。
• 利用 Bressler-Nest-Tsygan 的技术，证明该类与 $\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$-模导出的类等价。
• 在全纯设置下应用局部化与陈特征技术，推导出轨道 Riemann-Roch 公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $\mathcal{D}$-模的 Hochschild 类推广至涉及复流形上群作用的等变设置？
• RQ2 Hochschild Lefschetz 类在等变背景下对直接像函子的行为如何？
• RQ3 通过群元素求和定义的轨道 Hochschild 类与通过交叉积代数定义的抽象类之间有何关系？
• RQ4 在紧致复轨道上，$\Gamma$-等变 $\mathcal{D}$-模的欧拉类的 Riemann-Roch 公式具有何种形式？
• RQ5 轨道 Riemann-Roch 公式能否用轨道陈特征、法丛的欧拉类以及惯性轨道的 Todd 类表示？

主要发现

• Hochschild Lefschetz 类 $hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$ 在 $H^0(X, \mathcal{H}\mathcal{H}(\widehat{\mathcal{E}}_X, \widehat{\mathcal{E}}_X^\gamma))$ 中定义良好，当 $\gamma = \mathrm{id}$ 时退化为标准 Hochschild 类。
• Hochschild Lefschetz 类与直接像函子相容，推广了标准 Hochschild 类的性质。
• 通过 $\frac{1}{|\Gamma|}\sum_{\gamma \in \Gamma} hh^\gamma(\mathcal{M}, \gamma)$ 定义的轨道 Hochschild 类，与通过 $\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$-模定义的类等价。
• 欧拉类的轨道 Riemann-Roch 公式为 $\mathrm{eu}_Q(\mathcal{M}) = \left(\frac{1}{m} \mathrm{ch}_Q(\sigma_{\mathrm{char}(\mathcal{M})}(\mathcal{M})) \wedge \mathrm{eu}_Q(N) \wedge \pi_M^*Td(IQ_M)\right)_{\dim(IQ_X)}$，其中 $IQ_X$ 为惯性轨道。
• 证明依赖于全纯版本的局部化与陈特征机制，$\widehat{\mathcal{W}}_X(0)$ 的特征类为 $\frac{1}{\hbar}\omega + \frac{1}{2}\pi_M^*c_1(TX)$，与代数设置下的已知结果一致。