[论文解读] Deformation quantization modules

Masaki Kashiwara, Pierre Schapira|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用 83

一句话总结

本文利用DQ-代数丛在复流形上发展了形变量子化模（DQ-模），推广了D-模与微分系统理论。建立了相干核卷积的有限性定理，构造了对偶复形，证明了Hochschild类与卷积的可交换性，并在交换与辛情形下将这些类与Chern类和Euler类联系起来，应用包括正则DQ-模与拉格朗日子流形。

ABSTRACT

We study modules over stacks of deformation quantization algebroids on complex Poisson manifolds. We prove finiteness and duality theorems in the relative case and construct the Hochschild class of coherent modules. We prove that this class commutes with composition of kernels, a kind of Riemann-Roch theorem in the non-commutative setting. Finally we study holonomic modules on complex symplectic manifolds and we prove in particular a constructibility theorem.

研究动机与目标

• 将D-模理论推广至形变量子化代数丛（DQ-代数丛），扩展经典相干层与对偶性结果。
• 在适当正则性假设下，建立相干核卷积的有限性定理，类比于Grauert定理。
• 为DQ-代数丛构造对偶复形，并证明对偶性与卷积可交换。
• 定义并研究相干DQ-模的Hochschild类，证明其与卷积的相容性。
• 在交换与辛情形下，将Hochschild类与Chern类及Euler类关联，并研究在拉格朗日子簇上支撑的正则DQ-模。

提出的方法

• 使用在 $\mathbb{C}[[\hbar]]$ 上的环层形式形变理论，聚焦于 $\hbar$-完备且 $\hbar$-挠自由代数。
• 在导出范畴 $\mathrm{D}(\mathscr{A})$ 中引入上同调完备模，给出相干性与平坦性的判别准则。
• 将 $\mathrm{DQ}$-代数丛定义为局部同构于形式星代数的叠，通过Kontsevich的形变量化定理编码泊松结构。
• 通过导出范畴中的卷积构造核，并在投影正则性条件下证明有限性。
• 利用对偶性定理与近乎自由解析，建立对偶性与卷积的可交换性。
• 通过导出Hom复形定义Hochschild类，并证明其与卷积的相容性，以及在特殊情形下与Chern/Euler类的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将相干DQ-模理论推广至DQ-代数丛？它们满足何种有限性性质？
• RQ2 对相干DQ-模而言，对偶性是否与卷积可交换？能否通过对偶复形证明这一点？
• RQ3 DQ-模的Hochschild类具有何种结构？它们在卷积下如何行为？
• RQ4 在交换与辛情形下，Hochschild类如何与Chern类和Euler类关联？
• RQ5 在辛设定下，正则DQ-模的解复形构造性的条件是什么？

主要发现

• 在正则性假设下，两个相干核的卷积仍是相干的，将Grauert定理推广至DQ设定。
• DQ-代数丛存在对偶复形，且对偶性与卷积可交换，通过导出范畴技术得以证明。
• 相干DQ-模的Hochschild类定义良好，并与卷积可交换，确立了关键不变性。
• 在交换情形下，Hochschild类对应于Chern类；在辛情形下，其与 $\mathscr{D}$-模的Euler类相关。
• 对于正则DQ-模，其与另一模的解复形是构造性的，尤其当支撑为拉格朗日子簇时。
• 当 $\Lambda_a = \Phi(x,a)(\Lambda_0)$ 通过哈密顿形变得到时，$\mathrm{R}^i\mathrm{Hom}_{\mathscr{A}_X^{\rm loc}}(\mathscr{L}_a, \mathscr{N})$ 的维数与 $a$ 无关，表明其在辛形变下保持不变。