[论文解读] Hodge correlators

A. B. Goncharov|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文將霍奇關聯量定義為費曼積分的週期，並在 motivic 李代數中定義 motivic 關聯量，其週期可還原為這些霍奇關聯量。研究證明霍奇關聯量作為描述曲線上實混合霍奇結構變化的 twistor 連接的係數而出現，從而將經典多 polylogarithm 與 Rankin-Selberg 積分統一於 motivic 框架之下。

ABSTRACT

Hodge correlators are complex numbers given by certain integrals assigned to a smooth complex curve. We show that they are correlators of a Feynman integral, and describe the real mixed Hodge structure on the pronilpotent completion of the fundamental group of the curve. We introduce motivic correlators, which are elements of the motivic Lie algebra and whose periods are the Hodge correlators. They describe the motivic fundamental group of the curve. We describe variations of real mixed Hodge structures on a variety by certain connections on the product of the variety by an afine line. We call them twistor connections. Generalising this, we suggest a DG enhancement of the subcategory of Saito's Hodge complexes with smooth cohomology. We show that when the curve varies, the Hodge correlators are the coefficients of the twistor connection describing the corresponding variation of real MHS. Examples of the Hodge correlators include classical and elliptic polylogarithms, and their generalizations. The simplest Hodge correlators on the modular curves are the Rankin-Selberg integrals. Examples of the motivic correlators include Beilinson's elements in the motivic cohomology, e.g. the ones delivering the Beilinson - Kato Euler system on modular curves.

研究动机与目标

• 將霍奇關聯量定義為在光滑複曲線上積分所產生的複數。
• 建立霍奇關聯量與費曼積分之間的聯繫，連結數學物理與霍奇理論。
• 在 motivic 李代數中引入 motivic 關聯量，其週期即為霍奇關聯量，從而描述 motivic 基本群。
• 推廣使用 twistor 連接描述代數簇上實混合霍奇結構變化的框架，適用於與仿射直線的乘積。
• 提出 Saito 霍奇複形的 DG 提升，其上同調光滑，從而擴展 motivic 與霍奇理論構造的框架。

提出的方法

• 將霍奇關聯量定義為在光滑複曲線上特定積分，並與費曼振幅結構連結。
• 構造曲線基本群的 pronilpotent 完備化，並描述其上的實混合霍奇結構。
• 將 motivic 關聯量定義為 motivic 李代數中的元素，其週期等於霍奇關聯量。
• 將 twistor 連接定義為在代數簇與仿射直線乘積上的連接，推廣實混合霍奇結構的變異。
• 發展 Saito 霍奇複形中具有光滑上同調的子類別的 DG 提升，以捕捉更高階的同倫與 motivic 資料。
• 證明當曲線變動時，霍奇關聯量作為編碼實 MHS 變異的 twistor 連接的係數出現。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將光滑複曲線上的霍奇關聯量解釋為費曼積分的係數？
• RQ2 motivic 關聯量在描述曲線 motivic 基本群中扮演何種角色？
• RQ3 twistor 連接如何編碼代數簇上實混合霍奇結構的變異？
• RQ4 霍奇關聯量在何種方式下推廣了經典與橢圓多 polylogarithm？
• RQ5 motivic 關聯量與 motivic 上同調中的已知元素（如 Beilinson 的元素與 Beilinson-Kato Euler 系統）有何關係？

主要发现

• 證明霍奇關聯量為描述曲線上實混合霍奇結構變異的 twistor 連接之係數。
• 定義 motivic 關聯量為 motivic 李代數中的元素，其週期恰好為霍奇關聯量，從而提供基本群的 motivic 提升。
• 該構造將經典多 polylogarithm 與橢圓多 polylogarithm 統一為霍奇關聯量的特例。
• 在模曲線上最簡單的霍奇關聯量被識別為 Rankin-Selberg 積分，連結自守形式與霍奇理論。
• Beilinson 在 motivic 上同調中的元素（包括模曲線上構成 Beilinson-Kato Euler 系統的元素）被實現為 motivic 關聯量。
• 本文提供 Saito 霍奇複形的 DG 提升（具有光滑上同調），從而實現 motivic 與霍奇理論分析的導出提升。