[论文解读] Hodge metric completion of the moduli space of Calabi-Yau manifolds

Kefeng Liu, Yang Shen|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文证明了极化且带标记的卡拉比–丘流形的托里空间在霍奇度量下的完备化是一个复仿射流形，且从该完备化空间到周期域的周期映射是单射。此外，本文还确立了该完备化空间是一个具有完备凯勒–爱因斯坦度量的全纯有界域，从而解决了复维数 ≥3 时卡拉比–丘流形的托里问题与模形式几何中的关键问题。

ABSTRACT

In this paper, it is proved that the Hodge metric completion of the moduli space of polarized and marked Calabi-Yau manifolds, i.e. the Torelli space, is a complex affine manifold. As applications we prove that the period map from the Torelli space and the extended period map from its completion space, both are injective into the period domain, and that the completion space is a bounded domain of holomorphy with a complete Kähler-Einstein metric. As a corollary we show that the period map from the moduli space of polarized Calabi-Yau manifolds with level $m$ structure is also injective.

研究动机与目标

• 将极化且带标记的卡拉比–丘流形的托里空间在霍奇度量下的完备化确立为复仿射流形。
• 证明从托里空间及其完备化空间到周期域的周期映射是单射。
• 证明霍奇度量完备化空间是一个全纯有界域，并配备有完备的凯勒–爱因斯坦度量。
• 将周期映射的单射性推广至具有水平 $m$ 结构的模形式空间（$m \geq 3$）。
• 通过霍奇度量完备化与全纯仿射结构，阐明模形式空间的拓扑与几何结构。

提出的方法

• 利用周期映射与霍奇度量，在泰希米勒空间上构造全局全纯仿射结构。
• 将托里空间在霍奇度量下的完备化定义为周期域上霍奇度量拉回下的度量完备化。
• 将周期映射从模形式空间 $\mathcal{Z}_m$ 提升至万有覆叠 $\mathcal{T}$ 和托里空间 $\mathcal{T}'$，确保相关图表的交换性。
• 利用范坎普定理，证明模形式空间 $\mathcal{Z}_m$ 到其霍奇度量完备化 $\mathcal{Z}_m^H$ 的包含映射诱导出基本群的满同态。
• 通过霍奇度量的完备性与曲率性质，证明霍奇度量完备化空间是一个全纯有界域。
• 通过提升的唯一性与周期映射的非退化性，证明从完备化空间到周期域的周期映射是单射。

实验结果

研究问题

• RQ1 极化且带标记的卡拉比–丘流形的托里空间在霍奇度量下的完备化是否为复仿射流形？
• RQ2 从霍奇度量完备化空间到周期域的周期映射是否仍为单射？
• RQ3 霍奇度量完备化空间是否为具有完备凯勒–爱因斯坦度量的全纯有界域？
• RQ4 周期映射的单射性是否可推广至具有水平 $m$ 结构且 $m \geq 3$ 的模形式空间？
• RQ5 模形式空间 $\mathcal{Z}_m$、其霍奇度量完备化 $\mathcal{Z}_m^H$ 以及这些空间的基本群之间存在何种拓扑关系？

主要发现

• 极化且带标记的卡拉比–丘流形的托里空间在霍奇度量下的完备化是复仿射流形。
• 从托里空间到周期域的周期映射是单射。
• 霍奇度量完备化空间是一个全纯有界域。
• 霍奇度量完备化空间配备有完备的凯勒–爱因斯坦度量。
• 作为推论，具有水平 $m$ 结构的模形式空间在 $m \geq 3$ 时，其周期映射是单射。
• 模形式空间 $\mathcal{Z}_m$ 到其霍奇度量完备化 $\mathcal{Z}_m^H$ 的包含映射诱导出基本群上的满同态。