[论文解读] Hodge-Tate decomposition for non-smooth spaces

Haoyang Guo|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文将 Hodge-Tate 分解推广至特征 0 的完备代数闭非阿赋值域上的恰当刚性空间，即使该空间不光滑。利用拟-étale 上同调、étale-h 拓扑以及奇点解耦，作者建立了在 $E_2$ 页退化的谱序列，将经典的 Hodge-Tate 结果从光滑情形推广至奇异情形。

ABSTRACT

In this article, we generalize the Hodge-Tate decomposition of p-adic étale cohomology to non-smooth rigid spaces. Our strategy is to study pro-étale cohomology of rigid spaces introduced by Scholze, using the resolution of singularities and the simplicial method.

研究动机与目标

• 将原本仅对光滑恰当刚性空间成立的 Hodge-Tate 分解，推广至特征 0 的完备代数闭非阿赋值域上非光滑的恰当刚性空间。
• 通过引入 $\acute{\textrm{e}}$h-拓扑及其相应的微分形式层，为奇异刚性空间建立一个上同调框架。
• 建立一个将 $p$-进 étale 上同调与 $\acute{\textrm{e}}$h 点上的微分形式的凝聚上同调联系起来的谱序列，推广光滑情形的结果。
• 利用单纯方法与奇点解耦，证明对于恰当刚性空间（即使奇异），该谱序列在 $E_2$ 页退化。
• 当空间定义在具有完美剩余域的离散赋值子域上时，恢复到典范的伽罗瓦等变 Hodge-Tate 分解。

提出的方法

• 在刚性空间上引入 $\acute{\textrm{e}}$h-拓扑，由 étale 覆盖、普遍同胚以及爆破覆盖生成，通过奇点解耦实现局部光滑性。
• 通过在 $\acute{\textrm{e}}$h-拓扑中对连续微分层进行层化，定义 $\acute{\textrm{e}}$h-微分形式层 $\Omega^j_{\acute{\textrm{e}}h,/K}$。
• 利用 Scholze 发展的刚性空间的拟-étale 上同调，将 $p$-进 étale 上同调与结构层的导出直接像联系起来。
• 通过微分形式的 $\acute{\textrm{e}}$h-下降与谱序列的退化性，建立 (拟-étale)-$\acute{\textrm{e}}$h de Rham 比较同构。
• 应用单纯技巧与刚性空间的强可提升性，证明导出直接像 $R\nu_*\widehat{\mathcal{O}}_X$ 同伦等价于一系列扭 $\acute{\textrm{e}}$h-上同调群的直和。
• 利用退化定理（定理 7.4.9）与有限性结果（定理 6.0.2），证明谱序列在 $E_2$ 页退化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Hodge-Tate 谱序列推广至特征 0 的完备代数闭非阿赋值域上非光滑的恰当刚性空间？
• RQ2 如何利用 $\acute{\textrm{e}}$h-拓扑定义一个捕捉奇异空间上 Hodge-Tate 结构的凝聚上同调理论？
• RQ3 对于奇异刚性空间，将 $p$-进 étale 上同调与微分形式的 $\acute{\textrm{e}}$h-上同调联系起来的谱序列是否在 $E_2$ 页退化？
• RQ4 在何种条件下，非光滑空间的 Hodge-Tate 分解会存在典范的伽罗瓦等变分裂？
• RQ5 刚性空间的拟-étale 上同调能否表示为微分形式的扭 $\acute{\textrm{e}}$h-上同调群的直和？

主要发现

• 对于特征 0 的完备代数闭非阿赋值域上任意恰当刚性空间 $X$，其 Hodge-Tate 谱序列在 $E_2$ 页退化，即使空间不光滑。
• 对任意恰当刚性空间 $X$，存在谱序列 $E_2^{i,j} = \mathrm{H}^i(X_{\acute{\textrm{e}}h}, \Omega^j_{\acute{\textrm{e}}h,/K})(-j) \Longrightarrow \mathrm{H}^{i+j}(X_{\acute{\textrm{e}}t}, \mathbb{Q}_p) \otimes_{\mathbb{Q}_p} K$，其在 $E_2$ 页退化。
• 当 $X$ 光滑时，$\mathrm{H}^i(X_{\acute{\textrm{e}}h}, \Omega^j_{\acute{\textrm{e}}h,/K})(-j)$ 同构于 $\mathrm{H}^i(X, \Omega^j_{X/K})(-j)$，从而恢复经典 Hodge-Tate 谱序列。
• $\mathrm{H}^i(X_{\acute{\textrm{e}}h}, \Omega^j_{\acute{\textrm{e}}h,/K})(-j)$ 是有限维 $K$-向量空间，且仅当 $0 \leq i,j \leq \dim X$ 时非零。
• 当 $X$ 定义在具有完美剩余域的离散赋值子域 $K_0$ 上时，谱序列具有伽罗瓦等变性，且可典范分裂为 $\mathrm{H}^n(X_{\acute{\textrm{e}}t}, \mathbb{Q}_p) \otimes K = \bigoplus_{i+j=n} \mathrm{H}^i(X_{\acute{\textrm{e}}h}, \Omega^j_{\acute{\textrm{e}}h,/K_0})(-j) \otimes_{K_0} K$。
• 谱序列的退化性通过退化定理（定理 7.4.9）建立，依赖于强可提升性与微分形式的 $\acute{\textrm{e}}$h-下降。