[论文解读] Relative p-adic Hodge theory, II: Imperfect period rings

Kiran S. Kedlaya, Ruochuan Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 88被引用 53

一句话总结

本文通过在 adic 空间上引入伪凝聚 $(\varphi,\Gamma)$-模，将相对 p-进霍奇理论进行推广，推广了经典的 $(\varphi,\Gamma)$-模，并建立了其阿贝尔范畴结构，具有良好的同调性质。通过在存在合适无限 étale 覆盖的条件下对周期层进行去完备化，证明了 p-进伽罗瓦表示的过收敛性，并在几何设定下建立了与 Andreatta-Brinon 的相对 $(\varphi,\Gamma)$-模的等价性。

ABSTRACT

In a previous paper, we constructed a category of (phi, Gamma)-modules associated to any adic space over Q_p with the property that the etale (phi, Gamma)-modules correspond to etale Q_p-local systems; these involve sheaves of period rings for Scholze's pro-etale topology. In this paper, we first extend Kiehl's theory of coherent sheaves on rigid analytic spaces to a theory of pseudocoherent sheaves on adic spaces, then construct a corresponding theory of pseudocoherent (phi, Gamma)-modules. We then relate these objects to a more explicit construction in case the space comes equipped with a suitable infinite etale cover; in this case, one can decomplete the period sheaves and establish an analogue of the theorem of Cherbonnier-Colmez on the overconvergence of p-adic Galois representations. As an application, we show that relative (phi, Gamma)-modules in our sense coincide with the relative (phi, Gamma)-modules constructed by Andreatta and Brinon in the geometric setting where the latter can be constructed. As another application, we establish that the category of pseudocoherent (phi, Gamma)-modules on an arbitrary rigid analytic space over a p-adic field is abelian, satisfies the ascending chain condition, and is stable under various natural derived functors (including Hom, tensor product, and pullback). Applications to the etale cohomology of pro-etale local systems will be given in a subsequent paper.

研究动机与目标

• 将经典 $(\varphi,\Gamma)$-模推广到 adic 空间上的更广类伪凝聚模，以改善其同调性质。
• 在非阿基米德解析空间的相对 p-进霍奇理论背景下，发展伪凝聚 $(\varphi,\Gamma)$-模的理论。
• 通过沿无限 étale 覆盖对周期层进行去构造，建立 p-进伽罗瓦表示的过收敛性。
• 证明在混合特征非阿基米德域上的仿射刚性解析空间上，伪凝聚 $(\varphi,\Gamma)$-模的范畴是阿贝尔的，并在导出函子下稳定。
• 在几何设定下，证明作者的相对 $(\varphi,\Gamma)$-模与 Andreatta-Brinon 的模等价。

提出的方法

• 利用导出范畴和平坦性准则，将 Kiehl 的凝聚层理论推广到 adic 空间上的伪凝聚层。
• 为 Scholze 的 pro-étale 拓扑构造周期层，并通过沿无限 étale 覆盖的下降定义 $(\varphi,\Gamma)$-模。
• 对周期环使用去完备化技术，以恢复过收敛性，将 Cherbonnier-Colmez 定理推广到相对设定。
• 应用 André 的引理和 Fontaine 的完美oid环理论，分析周期层及其模的结构。
• 利用伪平坦性和 Beauville-Laszlo 拼接技术，处理 adic 空间上的整体构造。
• 利用 Frobenius 分裂和斜率理论，分析 $(\varphi,\Gamma)$-模及其上同调的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $(\varphi,\Gamma)$-模的范畴扩大，以包含具有更好同调行为的伪凝聚对象？
• RQ2 在何种条件下，周期层的去完备化能产生过收敛的 p-进伽罗瓦表示？
• RQ3 在何种几何设定下，作者的相对 $(\varphi,\Gamma)$-模与 Andreatta 和 Brinon 的模重合？
• RQ4 在刚性解析空间上，伪凝聚 $(\varphi,\Gamma)$-模范畴的结构性质（如阿贝尔性、诺特性）是什么？
• RQ5 在伪凝聚 $(\varphi,\Gamma)$-模范畴中，导出函子（Hom、⊗、拉回）的行为如何？

主要发现

• 在混合特征非阿基米德域上的刚性解析空间上，伪凝聚 $(\varphi,\Gamma)$-模的范畴是阿贝尔的，并满足升链条件。
• 该范畴在导出函子 $\operatorname{Hom}$、$\otimes$ 和拉回下稳定，确保了强范畴控制。
• 通过沿无限 étale 覆盖对周期层进行去完备化，建立了 p-进伽罗瓦表示的过收敛性，推广了 Cherbonnier-Colmez 定理。
• 在两者均有定义的几何设定下，作者的相对 $(\varphi,\Gamma)$-模与 Andreatta 和 Brinon 的模重合。
• 证明了类型为 $\mathbf{C}$ 的伪凝聚 $(\varphi,\Gamma)$-模与 $B$-对等价，并具有良好的斜率过滤。
• 完美oid塔与 Frobenius 分裂理论使我们能够构造出具有受控伽罗瓦作用与 Frobenius 作用的周期层。