[论文解读] Holonomy and (stated) skein algebras in combinatorial quantization

Matthieu Faitg|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2020

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文在组合量子化框架下引入了代数 $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ 的全纯映射，通过张量值赋值推广了辫索和纽结不变量。它证明了具有一个边界边的紧致定向曲面的 stated skein 代数同构于 $\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(/mathfrak{sl}_2))$，从而实现了真空表示的几何实现，并统一了 skein 理论与量子化特征簇。

ABSTRACT

The algebra $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ was introduced by Alekseev-Grosse-Schomerus and Buffenoir-Roche and quantizes the character variety of the Riemann surface $Σ_{g,n}\!\setminus\! D$ ($D$ is an open disk). In this article we define a holonomy map in that quantized setting, which associates a tensor with components in $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ to tangles in $(Σ_{g,n}\!\setminus\!D) imes [0,1]$, generalizing previous works of Buffenoir-Roche and Bullock-Frohman-Kania-Bartoszynska. We show that holonomy behaves well for the stack product and the action of the mapping class group; then we specialize this notion to links in order to define a generalized Wilson loop map. Thanks to the holonomy map, we give a geometric interpretation of the vacuum representation of $\mathcal{L}_{g,0}(H)$ on $\mathcal{L}_{0,g}(H)$. Finally, the general results are applied to the case $H=U_{q^2}(\mathfrak{sl}_2)$ in relation to skein theory and the most important consequence is that the stated skein algebra of a compact oriented surface with just one boundary edge is isomorphic to $\mathcal{L}_{g,n}\big( U_{q^2}(\mathfrak{sl}_2) \big)$. Throughout the paper we use a graphical calculus for tensors with coefficients in $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ which makes the computations and definitions very intuitive.

研究动机与目标

• 在 $\Sigma_{g,n} \setminus D \times [0,1]$ 中的辫索上定义一个将张量赋值给 $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ 的全纯映射，推广先前的构造。
• 证明该全纯映射与堆叠乘积及映射类群作用相容。
• 将全纯映射特化到纽结上，定义量子化设定下的广义威尔逊环路映射。
• 通过全纯构造，给出 $\mathcal{L}_{g,0}(H)$ 在 $\mathcal{L}_{0,g}(H)$ 上的真空表示的几何解释。
• 建立具有一个边界边的紧致定向曲面的 stated skein 代数与 $\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(/mathfrak{sl}_2))$ 之间的同构。

提出的方法

• 通过在 $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ 系数张量上的图形演算构造全纯映射，实现直观的计算与定义。
• 该框架利用了由 Alekseev-Grosse-Schomerus 和 Buffenoir-Roche 最初引入的 $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ 的代数结构，用于量化带 puncture 的曲面的特征簇。
• 通过验证辫索连接下的一致性，证明全纯映射与堆叠乘积相容。
• 通过证明在曲面自同构下满足等变性，证明映射类群作用被保持。
• 通过将全纯映射限制到纽结上，定义广义威尔逊环路映射，得到类似量子迹的不变量。
• 关键同构的证明在于表明具有一个边界边的曲面的 stated skein 代数满足与 $\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(/mathfrak{sl}_2))$ 相同的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ 的组合量子化设定下，为 $\Sigma_{g,n} \setminus D \times [0,1]$ 中的辫索定义全纯映射？
• RQ2 全纯映射是否尊重堆叠乘积及曲面上映射类群的作用？
• RQ3 全纯构造能否特化为量子化设定下纽结的广义威尔逊环路映射？
• RQ4 通过全纯映射，$\mathcal{L}_{g,0}(H)$ 在 $\mathcal{L}_{0,g}(H)$ 上的真空表示的几何解释是什么？
• RQ5 具有单个边界边的紧致定向曲面的 stated skein 代数是否同构于 $\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(/mathfrak{sl}_2))$？

主要发现

• 全纯映射定义良好，并尊重堆叠乘积与映射类群作用，推广了先前的辫索不变量。
• 全纯构造为 $\Sigma_{g,n} \setminus D \times [0,1]$ 中的纽结生成了广义威尔逊环路映射。
• 通过全纯映射，$\mathcal{L}_{g,0}(H)$ 在 $\mathcal{L}_{0,g}(H)$ 上的真空表示得到了几何实现。
• 具有一个边界边的紧致定向曲面的 stated skein 代数同构于 $\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(/mathfrak{sl}_2))$。
• 通过详细比较代数关系与图形演算，建立了该同构，附录部分完整证明了定理 4.4。