[论文解读] Holonomy on Poisson Manifolds and the Modular Class

Viktor L. Ginzburg, Alex Golubev|ArXiv.org|Dec 28, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文引入了泊松流形上的线性全纯性，通过将路径提升至余切丛（余切路径）的方式，将辛叶层全纯性推广至奇异结构。它证明了该全纯性的行列式对数等于沿此类提升路径的模向量场的积分，从而直接建立了全 holonomy 与模类之间的联系，并证明了在局部无模泊松流形中，模类在莫里塔等价下保持不变。

ABSTRACT

We introduce linear holonomy on Poisson manifolds. The linear holonomy of a Poisson structure generalizes the linearized holonomy on a regular symplectic foliation. However, for singular Poisson structures the linear holonomy is defined for the lifts of tangential path to the cotangent bundle (cotangent paths). The linear holonomy is closely related to the modular class studied by A. Weinstein. Namely, the logarithm of the determinant of the linear holonomy is equal to the integral of the modular vector field along such a lift. This assertion relies on the notion of the integral of a vector field along a cotangent path on a Poisson manifold, which is also introduced in the paper. In the second part of the paper we prove that for locally unimodular Poisson manifolds the modular class is an invariant of Morita equivalence.

研究动机与目标

• 将线性全纯性的概念从正则辛叶层推广至奇异泊松流形。
• 通过将切向路径提升至余切丛（称为余切路径）来定义一种新的全纯不变量。
• 建立该全纯性与泊松流形模类之间的精确关系。
• 证明在局部无模泊松流形中，模类在莫里塔等价下保持不变。
• 引入并形式化在泊松流形上沿余切路径积分向量场的概念。

提出的方法

• 通过将切向路径提升至余切丛以构造余切路径，定义泊松流形上的线性全纯性。
• 引入沿余切路径的向量场积分，这是建立全纯性与模类之间关系的关键技术工具。
• 利用余切路径提升在余切丛上定义一种适应泊松结构的类似联络的结构。
• 计算线性全纯性映射的行列式，并将其对数与模向量场的积分联系起来。
• 将该理论应用于局部无模泊松流形，其中模类在邻域内消失。
• 利用莫里塔等价理论证明模类在泊松结构等价下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将线性全纯性从正则辛叶层推广至奇异泊松流形？
• RQ2 泊松流形的线性全纯性与其模类之间的确切关系是什么？
• RQ3 如何在泊松流形上定义沿余切路径的向量场积分？
• RQ4 在局部无模泊松流形中，模类是否在莫里塔等价下保持不变？
• RQ5 余切路径提升在连接全纯性与模向量场中起什么作用？

主要发现

• 线性全纯性映射的行列式对数等于沿余切路径的模向量场的积分。
• 沿余切路径积分向量场的概念是良好定义的，并且是全纯性与模类对应关系的核心。
• 对于局部无模泊松流形，模类在莫里塔等价下是不变的。
• 线性全纯性构造将经典正则辛叶层上的线性化全纯性推广至奇异泊松结构。
• 在局部无模情形下，模类被证明是莫里塔不变量，扩展了其在无模情形下已知的不变性。
• 全纯性映射通过提升至余切丛来定义，使其适用于奇异泊松几何。