[论文解读] Hom-alternative algebras and Hom-Jordan algebras

Abdenacer Makhlouf|ArXiv.org|Sep 2, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用 21

一句话总结

本文引入了同态替代代数与同态Jordan代数，作为普通替代代数与Jordan代数的扭曲推广，通过同态变形其定义恒等式。研究证明了同态结合代数可极化为同态Jordan代数，并提供了通过普通代数的自同态构造方法。关键结果表明，在特定扭曲条件下，同态Jordan恒等式成立，且同态替代代数不必然导出同态Jordan代数。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce Hom-alternative algebras and Hom-Jordan algebras. We discuss some of their properties and provide construction procedures using ordinary alternative algebras or Jordan algebras. Also, we show that a polarization of Hom-associative algebra leads to Hom-Jordan algebra.

研究动机与目标

• 通过扭曲映射α，定义并研究同态替代代数作为替代代数的推广形式。
• 引入同态Jordan代数，并通过极化建立其与同态结合代数的相容性。
• 提供利用普通代数的自同态构造同态替代代数与同态Jordan代数的方法。
• 研究同态替代代数与同态Jordan代数之间的关系，表明前者通常不诱导出后者。

提出的方法

• 通过涉及线性映射α的扭曲左、右替代恒等式，定义同态替代代数。
• 引入同态结合子作为三线性映射，以关联同态替代恒等式与结合性偏离度。
• 通过使用代数自同态α对普通替代代数进行扭曲，构造同态替代代数。
• 证明同态结合代数可通过极化产生同态Jordan代数，使用恒等式μ(α²(x), μ(y, μ(x,x))) = μ(μ(α(x),y), α(μ(x,x)))。
• 通过定义μα = α∘μ，从普通Jordan代数构造同态Jordan代数，并在自同态扭曲下证明同态Jordan恒等式成立。
• 通过验证代数同态与α可交换时保持同态Jordan结构，确认其同态相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过扭曲映射α将替代代数的概念推广为同态结构？
• RQ2 同态结合代数的极化是否产生同态Jordan代数？在何种条件下成立？
• RQ3 能否系统地利用代数自同态从普通Jordan代数构造同态Jordan代数？
• RQ4 是否存在一个自然的同态Jordan恒等式，可作为扭曲设定下Jordan恒等式的推广？
• RQ5 在标准构造下，同态替代代数是否必然导致同态Jordan代数？

主要发现

• 同态替代代数中的同态结合子是交替的，即当两个参数相等时其值为零。
• 同态结合代数可通过极化诱导出同态Jordan代数，满足同态Jordan恒等式μ(α²(x), μ(y, μ(x,x))) = μ(μ(α(x),y), α(μ(x,x)))。
• 通过定义μα = α∘μ（其中α为代数自同态），可从普通Jordan代数构造同态Jordan代数，且该构造保持同态结构。
• 同态Jordan恒等式不等价于Jordan恒等式的简单扭曲版本，例如μ(α(x), μ(y, μ(x,x))) = μ(μ(x,y), α(μ(x,x)))，后者在结构上不封闭。
• 例3.7展示了在K³上参数为a和b的3维同态Jordan代数，其乘法由同态结合代数导出，并满足同态Jordan恒等式。
• 同态替代代数通常不导致同态Jordan代数，如一般情况下同态Jordan恒等式不成立所示。