[论文解读] Hom-Alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan superalgebras

K. Abdaoui, Faouzi Ammar+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文引入了 Hom-替代、Hom-Malcev 和 Hom-Jordan 超代数作为其经典对应物的 $ζ_2$-分次推广，证明了 Hom-替代超代数通过超交换子和加法构造，既是 Hom-Malcev-可接受的，也是 Hom-Jordan-可接受的。本文建立了 Hom-型的 Bruck-Kleinfled 函数，并提供了新例子的构造定理，包括从 Kaplansky 和 $D_t$ 超代数构造出的非 Jordan 型 Hom-Jordan 超代数。

ABSTRACT

Hom-alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan superalgebras are $\mathbb{Z}_{2}$-graded generalizations of Hom-alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan algebras, which are Hom-type generalizations of alternative, Malcev and Jordan algebras. In this paper we prove that Hom-alternative superalgebras are Hom-Malcev-admissible and are also Hom-Jordan-admissible. Home-type generalizations of some well known identities in alternative superalgebras, including the $\mathbb{Z}_{2}$-graded Bruck-Kleinfled function are obtained.

研究动机与目标

• 通过引入 $ζ_2$-分次的 Hom-型类比，将替代、Malcev 和 Jordan 超代数的理论扩展到 Hom-型设定。
• 建立 Hom-替代超代数既是 Hom-Malcev-可接受的也是 Hom-Jordan-可接受的，推广经典可接受性结果。
• 利用 3D Kaplansky 超代数和 4D 简约 Jordan 超代数 $D_t$，构造出非 Jordan 型的 Hom-Jordan 超代数新例子。
• 在 Hom-替代超代数的背景下，发展关键恒等式的 Hom-型类比，包括 $ζ_2$-分次的 Bruck-Kleinfled 函数。

提出的方法

• 将 Hom-超代数定义为三元组 $(\mathcal{A}, \mu, \alpha)$，其中 $\mu$ 为偶性双线性乘法，$\alpha$ 为偶性线性扭映射，且满足 $\alpha \circ \mu = \mu \circ \alpha^{\otimes 2}$。
• 通过涉及 $\alpha$-扭斜对称性和超交替性质的超结合子条件，定义 Hom-替代超代数。
• 利用 Hom-替代超代数的超交换子构造 Hom-Malcev 超代数，并证明其在自弱同态下封闭。
• 通过定义加法 Hom-超代数 $\mathcal{A}^+ = (\mathcal{A}, \ast, \alpha)$，其中 $x \ast y = \frac{1}{2}(\mu(x,y) + (-1)^{|x||y|}\mu(y,x))$，建立 Hom-Jordan-可接受性。
• 使用导出和诱导构造：$\mathcal{A}_\beta = (\mathcal{A}, \mu_\beta, \beta\alpha)$ 和 $\mathcal{A}^n = (\mathcal{A}, \mu^{(n)}, \alpha^{2^n})$，生成新的 Hom-可接受超代数。
• 利用 3D Kaplansky 超代数和 4D $D_t$ 超代数，结合参数 $a, b, c, t \in \mathbb{K}^*$ 且 $1 + bc \neq 0$，显式构造出非 Jordan 型的 Hom-Jordan 超代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hom-替代超代数是否为 Hom-Malcev-可接受的？如果是，是否可通过超交换子构造证明？
• RQ2 经典 Jordan-可接受性是否可通过加法构造推广至 Hom-设定下的替代超代数？
• RQ3 在替代超代数中，Bruck-Kleinfled 函数及其他恒等式的 Hom-型类比是什么？它们如何支持可接受性结果？
• RQ4 是否可利用扭映射从已知的 Jordan 超代数构造出非 Jordan 型的 Hom-Jordan 超代数？
• RQ5 Hom-超代数成为 Hom-Jordan-可接受的必要与充分条件是什么？导出和诱导构造如何保持该性质？

主要发现

• Hom-替代超代数是 Hom-Malcev-可接受的：任意 Hom-替代超代数的超交换子 Hom-超代数满足 Hom-Malcev 超结合恒等式。
• Hom-替代超代数是 Hom-Jordan-可接受的：任意 Hom-替代超代数的加法 Hom-超代数 $\mathcal{A}^+$ 是一个 Hom-Jordan 超代数。
• Hom-Malcev 超代数的范畴在自弱同态下封闭，如定理 \ref{inducedMALCEV} 所示。
• Hom-Jordan-可接受超代数的范畴在 $\beta$-诱导和导出构造下均封闭，如定理 \ref{iduced} 和 \ref{admissible} 所证明。
• 从 3D Kaplansky 超代数和 4D $D_t$ 超代数显式构造出 4 维 Hom-Jordan 超代数，由于当 $1 + bc \neq 0$ 且 $a \neq 1$ 时违反 Jordan 超结合恒等式，这些超代数不是 Jordan 超代数。
• 使用 Hom-型的 $ζ_2$-分次 Bruck-Kleinfled 函数类比证明了 Hom-Malcev-可接受性，将经典恒等式推广至 Hom-设定。