[论文解读] Hom-Novikov Algebras and Hom-Novikov-Poisson Algebras

Lamei Yuan, Hong You|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文引入并研究了 Hom-Novikov 代数与 Hom-Novikov-Poisson 代数——通过线性扭曲映射对 Novikov 代数和 Novikov-Poisson 代数的扭曲推广。它建立了从交换 Hom-结合代数与导子出发的构造方法，证明了两个 Hom-Novikov-Poisson 代数的张量积仍是 Hom-Novikov-Poisson 代数，并引入了具有对称非退化不变形式的二次 Hom-Novikov 代数，将其与二次 Novikov 代数及 Hom-Lie 代数联系起来。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study Hom-Novikov algebras and Hom-Novikov-Poisson algebras, both of which were defined by Yau. In the paper, we give several constructions leading us to some interesting examples of Hom-Novikov algebras and Hom-Novikov-Poisson algebras. Also, we introduce the notion of quadratic Hom-Novikov algebras and provide some properties.

研究动机与目标

• 通过引入 Hom-Novikov 代数与 Hom-Novikov-Poisson 代数，将 Novikov 代数与 Novikov-Poisson 代数的理论推广到其 Hom 类比形式。
• 建立 Hom-Novikov 代数与 Hom-Lie 代数之间的结构关系，以及 Hom-Novikov 代数与 Novikov 代数之间的关系。
• 将二次 Novikov 代数的概念推广到 Hom 代数设定中，引入对称非退化不变双线性形式。
• 通过交换 Hom-结合代数与导子，系统地构造 Hom-Novikov-Poisson 代数，推广未扭曲情形下的已知构造。
• 证明两个 Hom-Novikov-Poisson 代数的张量积仍继承 Hom-Novikov-Poisson 代数结构。

提出的方法

• 通过使用扭曲映射 α 来扭曲结合性与反对称性条件，以扭曲的 Novikov 恒等式定义 Hom-Novikov 代数。
• 从一个交换 Hom-结合代数与一个不一定是导子的线性映射出发构造 Hom-Novikov 代数，推广 Yau 的原始构造。
• 将二次 Hom-Novikov 代数定义为配备有满足特定不变性条件（方程 4.3）的对称、非退化、不变双线性形式的 Hom-Novikov 代数。
• 证明当扭曲映射 α 为自同构或对合时，二次 Hom-Novikov 代数的结构分别退化为已知的二次 Novikov 代数与二次 Hom-Lie 代数结构，从而建立结构联系。
• 利用定理 5.3，从一个交换 Hom-结合代数与一个导子出发构造 Hom-Novikov-Poisson 代数，推广 Dorfman-Gel’fand 与 Xu 的构造。
• 通过在诱导乘法与扭曲映射下验证定义恒等式，确认两个 Hom-Novikov-Poisson 代数的张量积仍为 Hom-Novikov-Poisson 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从交换 Hom-结合代数与不一定是导子的线性映射出发，系统地构造 Hom-Novikov 代数？
• RQ2 Hom-Novikov 代数与 Hom-Lie 代数之间存在何种关系？这与经典 Novikov–Lie 代数对应关系有何关联？
• RQ3 二次 Novikov 代数的概念能否推广到 Hom 设定中？其对代数结构意味着什么？
• RQ4 在何种条件下，两个 Hom-Novikov-Poisson 代数的张量积仍为 Hom-Novikov-Poisson 代数？
• RQ5 如何利用交换 Hom-结合代数的导子来构造新的 Hom-Novikov-Poisson 代数，从而推广未扭曲情形下的已知构造？

主要发现

• 提供了一种新的 Hom-Novikov 代数构造方法，使用交换 Hom-结合代数与一个不需为导子的线性映射，推广了 Yau 的原始框架。
• 证明了两个 Hom-Novikov-Poisson 代数的张量积继承了 Hom-Novikov-Poisson 代数结构，推广了未扭曲情形下的已知结果。
• 引入了二次 Hom-Novikov 代数的概念，定义为配备有对称、非退化、不变双线性形式并满足方程 (4.3) 的 Hom-Novikov 代数。
• 当扭曲映射 α 为自同构或对合时，二次 Hom-Novikov 代数分别退化为二次 Novikov 代数与二次 Hom-Lie 代数，从而建立了结构上的联系。
• 从一个以交换群 Δ 为指标集的交换 Hom-结合代数出发，利用通过非平凡同态 f 定义的导子，构造了 Hom-Novikov-Poisson 代数的例子。
• 在例 5.6 中，于一个以 {x_a | a ∈ Δ} 为基的向量空间上实现了具体的 Hom-Novikov-Poisson 代数，其中乘法与扭曲通过指数映射与线性映射定义，且所得代数满足所有定义恒等式。