[论文解读] Homeomorphism and diffeomorphism groups of non-compact manifolds with the Whitney topology

Тарас Банах, Kotaro Mine+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用 9

一句话总结

本文研究了非紧流形在Whitney拓扑下的同胚与微分同胚群的拓扑结构。研究结果表明，紧支集子群是局部可缩的，并且与 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-流形微分同胚，其单位分支为开正规子群，从而实现了紧支集群在单位分支与离散映射类群之间的拓扑分解。

ABSTRACT

For a non-compact n-manifold M let H(M) denote the group of homeomorphisms of M endowed with the Whitney topology and H_c(M) the subgroup of H(M) consisting of homeomorphisms with compact support. It is shown that the group H_c(M) is locally contractible and the identity component H_0(M) of H(M) is an open normal subgroup in H_c(M). This induces the topological factorization H_c(M) \approx H_0(M) imes \M_c(M) for the mapping class group \M_c(M) = H_c(M)/H_0(M) with the discrete topology. Furthermore, for any non-compact surface M, the pair (H(M), H_c(M)) is locally homeomorphic to (\square^w l_2,\cbox^w l_2) at the identity id_M of M. Thus the group H_c(M) is an (l_2 imes R^\infty)-manifold. We also study topological properties of the group D(M) of diffeomorphisms of a non-compact smooth n-manifold M endowed with the Whitney C^\infty-topology and the subgroup D_c(M) of D(M) consisting of all diffeomorphisms with compact support. It is shown that the pair (D(M),D_c(M)) is locally homeomorphic to (\square^w l_2, \cbox^w l_2) at the identity id_M of M. Hence the group D_c(M) is a topological (l_2 imes R^\infty)-manifold for any dimension n.

研究动机与目标

• 在Whitney拓扑下，分析非紧 $\sigma$-紧致 $n$-流形上同胚与微分同胚群的局部拓扑结构。
• 确定紧支集同胚群 ($\mathcal{H}_c(M)$) 和微分同胚群 ($\mathcal{D}_c(M)$) 是否局部可缩，并是否具有流形类似结构。
• 建立 $\mathcal{H}_c(M)$ 和 $\mathcal{D}_c(M)$ 在单位分支与离散映射类群之间的拓扑分解。
• 证明 $\mathcal{H}_c(M)$ 和 $\mathcal{D}_c(M)$ 在单位元附近局部微分同胚于对 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$，从而表明它们是 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-流形。

提出的方法

• 在同胚与微分同胚群上使用Whitney拓扑，通过开覆盖和映射的统一接近性来定义。
• 应用局部拓扑模型的概念，特别是对 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$，以刻画单位元附近的局部结构。
• 利用LF空间与弗雷chet空间理论，特别是 $\mathbb{R}^\infty$、$l_2$ 和 $l_2 \times \mathbb{R}^\infty$ 作为拓扑流形的刻画。
• 利用纤维丛理论技术与局部截面构造，通过定理6.9建立局部微分同胚性质。
• 应用命题5.5于具有强拓扑的变换群，使用紧致子流形的 exhausting 序列。
• 证明单位分支 $\mathcal{H}_0(M)$ 和 $\mathcal{D}_0(M)$ 分别是 $\mathcal{H}_c(M)$ 和 $\mathcal{D}_c(M)$ 的开正规子群，从而实现拓扑分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非紧 $\sigma$-紧致 $n$-流形上，紧支集同胚群 $\mathcal{H}_c(M)$ 在Whitney拓扑下是否局部可缩？
• RQ2 对 $(\mathcal{H}(M), \mathcal{H}_c(M))$ 是否在单位元处存在与 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 同胚的局部微分同胚模型？
• RQ3 在非紧光滑 $n$-流形上，紧支集微分同胚群 $\mathcal{D}_c(M)$ 在Whitney $C^\infty$-拓扑下是否为拓扑 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-流形？
• RQ4 $\mathcal{H}_c(M)$ 是否可拓扑分解为 $\mathcal{H}_0(M) \times \mathcal{M}_c(M)$，其中 $\mathcal{M}_c(M)$ 为离散群？
• RQ5 $\mathcal{D}(M)$ 与 $\mathcal{D}_c(M)$ 的局部结构是否与 $\mathcal{H}(M)$ 和 $\mathcal{H}_c(M)$ 一致，即是否在单位元附近局部微分同胚于 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$？

主要发现

• 在非紧 $\sigma$-紧致 $n$-流形上，紧支集同胚群 $\mathcal{H}_c(M)$ 在Whitney拓扑下是局部可缩的。
• 单位分支 $\mathcal{H}_0(M)$ 是 $\mathcal{H}_c(M)$ 的开正规子群，从而实现拓扑分解 $\mathcal{H}_c(M) \approx \mathcal{H}_0(M) \times \mathcal{M}_c(M)$，其中 $\mathcal{M}_c(M)$ 为离散群。
• 对于任意非紧曲面 $M$，对 $(\mathcal{H}(M), \mathcal{H}_c(M))$ 在单位元附近局部微分同胚于 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$，因此 $\mathcal{H}_c(M)$ 是 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-流形。
• 在非紧光滑 $n$-流形上，紧支集微分同胚群 $\mathcal{D}_c(M)$ 在单位元附近也局部微分同胚于 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$，因此它是一个拓扑 $(l_2 \times \mathbb{R}^\infty)$-流形。
• 单位分支 $\mathcal{D}_0(M)$ 是 $\mathcal{D}_c(M)$ 的开正规子群，且 $\mathcal{D}_c(M) \approx \mathcal{D}_0(M) \times \mathcal{M}_c^\infty(M)$，其中 $\mathcal{M}_c^\infty(M)$ 为离散群。
• $\mathcal{H}_c(M)$ 与 $\mathcal{D}_c(M)$ 的局部结构均以对 $(\square^\omega l_2, \boxdot^\omega l_2)$ 为模型，确认了其无穷维流形结构。