[论文解读] Homeomorphisms, homotopy equivalences and chain complexes

Spiros Adams-Florou|arXiv (Cornell University)|May 14, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文通过受控拓扑与有界拓扑，建立了一个精确的代数与拓扑准则，用于判断有限维、局部有限的单纯复形之间的同伦等价是否同伦于同胚。关键结果表明，一个PL Poincaré对偶空间是同调流形当且仅当其与 $\mathbb{R}$ 的积在该空间的开锥上具有有界Poincaré对偶性，从而通过代数细分与受控链复形将同伦论与几何拓扑联系起来。

ABSTRACT

This thesis concerns the relationship between bounded and controlled topology and how these can be used to recognise which homotopy equivalences of reasonable topological spaces are homotopic to homeomorphisms. Let $f:X o Y$ be a simplicial map of finite-dimensional locally finite simplicial complexes. We prove that $f$ has contractible point inverses if and only if it is an $ε$-controlled homotopy equivalences for all $ε>0$, if and only if $f imes\mathrm{id}:X imes\mathbb{R} o Y imes\mathbb{R}$ is a homotopy equivalence bounded over the open cone $O(Y^+)$ of Pedersen and Weibel. This approach can be generalised to algebra using geometric categories: the $X$-controlled categories $\mathbb{A}^*(X)$, $\mathbb{A}_*(X)$ of Ranicki and Weiss together with the bounded categories $\mathcal{C}_M(\mathbb{A})$ of Pedersen and Weibel. Analogous to the barycentric subdivision of a simplicial complex, we define the algebraic subdivision of a chain complex over that simplicial complex. The main theorem of the thesis is that a chain complex $C$ is chain contractible in $\mathbb{A}(X)$ if and only if $ extit{"}C\otimes\mathbb{Z} extit{"}\in\mathbb{A}(X imes\mathbb{R})$ is boundedly chain contractible when measured in $O(X^+)$ for a functor $ extit{"}-\otimes\mathbb{Z} extit{"}$ defined appropriately using algebraic subdivision and for $\mathbb{A}=\mathbb{A}^*$ or $\mathbb{A}_*$. We prove a squeezing result: a chain complex with a small enough chain contraction has arbitrarily small chain contractions. We conclude with consequences for Poincaré Duality spaces. Squeezing tells us that a $PL$ Poincaré duality space with small enough Poincaré duality is a homology manifold and the main theorem tells us that a $PL$ Poincaré duality space $X$ is a homology manifold if and only if $X imes\mathbb{R}$ has bounded Poincaré duality when measured in the open cone $O(X^+)$.

研究动机与目标

• 确定有限维、局部有限的单纯复形之间的同伦等价在何时同伦于同胚。
• 建立单纯映射的可缩纤维与开锥上受控同伦等价之间的对应关系。
• 通过 $X$-受控与有界范畴，将受控与有界拓扑推广至代数设定。
• 将结果应用于识别Poincaré对偶空间同伦类型中的同调流形。
• 开发一个保持有界性的代数重心细分函子，实现链收缩的压缩。

提出的方法

• 引入基本的 $\epsilon$-子分划胞覆 $X'_{\epsilon}$，以关联可缩纤维与开锥 $O(Y^+)$ 上的有界同伦等价。
• 使用 Ranicki 和 Weiss 的 $X$-受控范畴 $\mathbb{A}^*(X)$ 与 $\mathbb{A}_*(X)$，以及 Pedersen 与 Weibel 的有界范畴 $\mathcal{C}_M(\mathbb{A})$。
• 在单纯复形上的链复形上定义一个代数重心细分函子，推广拓扑重心细分。
• 应用压缩结果：若链复形具有足够小的链收缩，则可实现任意小的链收缩。
• 通过代数细分构造函子 $"-\otimes\mathbb{Z}"$，将 $X$ 上的链复形与 $X \times \mathbb{R}$ 上的链复形关联起来。
• 应用分裂定理，将 $X \times \mathbb{R}$ 上的有界链等价分解为 $X$ 上的 $\epsilon$-受控等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个具有可缩纤维的单纯映射同伦于同胚？
• RQ2 如何利用受控与有界拓扑检测同伦等价是否为同胚？
• RQ3 链复形在单纯复形上的代数重心细分的类比是什么？
• RQ4 在开锥中，$X \times \mathbb{R}$ 上的有界Poincaré对偶性是否能检测 $X$ 是否为同调流形？
• RQ5 代数细分如何实现链收缩向任意小界限的压缩？

主要发现

• 单纯映射 $f: X \to Y$ 具有可缩纤维当且仅当 $f \times \mathrm{id}: X \times \mathbb{R} \to Y \times \mathbb{R}$ 是在开锥 $O(Y^+)$ 上有界的同伦等价。
• 链复形 $C$ 在 $\mathbb{A}^*(X)$ 或 $\mathbb{A}_*(X)$ 中链同伦收缩当且仅当通过代数细分函子，$C \otimes \mathbb{Z}$ 在 $O(X^+)$ 中有界链同伦收缩。
• 压缩定理确保：任何具有足够小链收缩的链复形均可实现任意小的链收缩，从而实现对有界性的控制。
• PL Poincaré对偶空间 $X$ 是同调流形当且仅当 $X \times \mathbb{R}$ 在 $O(X^+)$ 中具有有界Poincaré对偶性。
• 主定理表明，若 $X \times \mathbb{R}$ 在 $O(X^+)$ 中具有有界Poincaré对偶性，则 $X$ 具有所有 $\epsilon > 0$ 的 $\epsilon$-受控Poincaré对偶性。
• 代数重心细分函子的构造使得 $X \times \mathbb{R}$ 上的有界性性质可系统性地传递至 $X$。