[论文解读] Homogenization, linearization and large-scale regularity for nonlinear elliptic equations

Scott N. Armstrong, Sam Ferguson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用 4

一句话总结

本论文证明了在具有随机、高度振荡系数的非线性椭圆方程中，均值化与线性化可交换，建立了关于解之差的最优随机可积性的大尺度 $C^{0,1}$ 正则性估计的定量结果。关键贡献在于提出了针对解的新大尺度 $C^{1,1}$ 估计，以及对均值化拉格朗日函数正则性的改进，可达 $C^{2,1}$ 阶，将定量均值化理论的适用范围拓展至线性情形之外。

ABSTRACT

We consider nonlinear, uniformly elliptic equations with random, highly oscillating coefficients satisfying a finite range of dependence. We prove that homogenization and linearization commute in the sense that the linearized equation (linearized around an arbitrary solution) homogenizes to the linearization of the homogenized equation (linearized around the corresponding solution of the homogenized equation). We also obtain a quantitative estimate on the rate of this homogenization. These results lead to a better understanding of differences of solutions to the nonlinear equation, which is of fundamental importance in quantitative homogenization. In particular, we obtain a large-scale $C^{0,1}$ estimate for differences of solutions---with optimal stochastic integrability. Using this estimate, we prove a large-scale $C^{1,1}$ estimate for solutions, also with optimal stochastic integrability. Each of these regularity estimates are new even in the periodic setting. As a second consequence of the large-scale regularity for differences, we improve the smoothness of the homogenized Lagrangian by showing that it has the same regularity as the heterogeneous Lagrangian, up to $C^{2,1}$.

研究动机与目标

• 发展非线性椭圆方程在散度形式下的随机均值化定量理论。
• 理解满足线性化方程的解之差的大尺度行为。
• 建立解及其差的最优大尺度正则性估计，包括具有最优随机可积性的 $C^{0,1}$ 和 $C^{1,1}$ 估计。
• 证明均值化拉格朗日函数继承了非均匀拉格朗日函数的 $C^{2,1}$ 正则性。
• 证明在均值化与线性化可交换的意义下，线性化方程均值化后等于均值化方程的线性化形式。

提出的方法

• 分析具有有限范围依赖性的随机、$ mathbb{Z}^d$-平稳系数的均匀椭圆、非线性方程在散度形式下的情形。
• 利用方程的变分结构定义次可加量，并应用次可加遍历定理证明均值化。
• 通过线性化方程的定量分析，建立解之差的大尺度 $C^{0,1}$ 正则性估计。
• 采用微扰论证表明，围绕解的线性化方程均值化后等于均值化方程的线性化形式。
• 利用卡帕纳托型迭代和能量估计，推导梯度在大尺度上的霍尔德正则性。
• 通过结合随机矩估计与均值化过程中误差的偏差型估计，推导出定量均值化估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有随机系数的非线性椭圆方程，均值化是否与线性化可交换？
• RQ2 在随机设定下，非线性椭圆方程解之差的最优大尺度正则性是什么？
• RQ3 在非线性、随机设定下，能否获得具有最优随机可积性的解的 $C^{1,1}$ 正则性估计？
• RQ4 均值化拉格朗日函数的正则性与非均匀拉格朗日函数的正则性有何关系？
• RQ5 围绕非线性方程解的线性化方程的均值化过程收敛速率是多少？

主要发现

• 均值化与线性化可交换：围绕解的线性化方程均值化后等于均值化方程的线性化形式。
• 建立了具有最优随机可积性的解之差的大尺度 $C^{0,1}$ 正则性估计，优于先前结果。
• 获得了具有最优随机可积性的非线性方程解的大尺度 $C^{1,1}$ 正则性估计，即使在周期情形下也属首次提出。
• 均值化拉格朗日函数继承了非均匀拉格朗日函数的 $C^{2,1}$ 正则性，相较于先前结果有显著改进。
• 推导出线性化方程的定量均值化估计，其收敛速率依赖于长度尺度比和随机系数的矩界。
• 通过基于卡帕纳托型迭代与随机矩估计的新大尺度正则性理论，建立了上述结果。