[论文解读] Homogenization of a transmission problem with Hamilton-Jacobi equations and a two-scale interface. Effective transmission conditions

Yves Achdou, Nicoletta Tchou|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用 4

一句话总结

本论文研究了在具有双尺度振荡界面的传输问题中哈密顿-雅可比方程的均质化，其中界面振幅为 $\varepsilon$，周期为 $\varepsilon^2$。当 $\varepsilon \to 0$ 时，值函数收敛于由平坦界面 $\Gamma$ 分隔的两个半平面中的哈密顿-雅可比方程的解，其在 $\Gamma$ 上具有一个有效传输条件，该条件编码了趋于消失的振荡的记忆效应，该结果通过粘性解技术与振荡哈密顿量的渐近分析推导得出。

ABSTRACT

We consider a family of optimal control problems in the plane with dynamics and running costs possibly discontinuous across a two-scale oscillatory interface. Typically, the amplitude of the oscillations is of the order of $\\epsilon$ while the period is of the order of $\\epsilon$ 2. As $\\epsilon$ $\ ightarrow$ 0, the interfaces tend to a straight line $\\Gamma$. We study the asymptotic behavior of the value function as $\\epsilon$ $\ ightarrow$ 0. We prove that the value function tends to the solution of Hamilton-Jacobi equations in the two half-planes limited by $\\Gamma$, with an effective transmission condition on $\\Gamma$ keeping track of the oscillations.

研究动机与目标

• 分析二维最优控制问题中值函数的渐近行为，该问题在具有双尺度振荡界面的区域中存在不连续的动力学与运行成本。
• 将极限问题表征为由平坦界面 $\Gamma$ 分隔的两个半平面中的哈密顿-雅可比方程系统，并在 $\Gamma$ 上具有有效传输条件。
• 推导出能保留界面趋于消失的振荡信息的有效传输条件，其振幅为 $\varepsilon$，周期为 $\varepsilon^2$。
• 将先前在等尺度振荡（振幅与周期均为 $\varepsilon$）情况下的均质化结果扩展到周期为 $\varepsilon^2$ 的奇异摄动情形。
• 通过比较原理与PDE理论中的测试函数技术，建立值函数收敛于有效问题的粘性解。

提出的方法

• 使用哈密顿-雅可比方程的粘性解理论，处理在振荡界面上的传输条件。
• 应用一组简化的测试函数，受Imbert和Monneau（2018）的启发，以处理界面上的传输条件。
• 在 $\varepsilon \to 0$ 的极限下进行渐近分析，此时界面趋于一条平坦直线 $\Gamma$，振荡通过 $\varepsilon$ 和 $\varepsilon^2$ 进行缩放。
• 构造校正项，并基于近似节点处的行为，采用类似遍历性的论证方法，推导界面处的有效哈密顿量。
• 在界面上仅使用一个测试函数，遵循[19, 18]中的技术，以处理界面上的非混合条件。
• 在收敛性证明中使用模连续性估计与反证法，依赖于梯度的统一有界性与哈密顿量的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\varepsilon \to 0$ 时，若界面具有振幅 $\varepsilon$ 与周期 $\varepsilon^2$ 的振荡，最优控制问题的值函数行为如何？
• RQ2 在极限平坦界面 $\Gamma$ 上，何种有效传输条件能够捕捉到趋于消失的双尺度振荡的影响？
• RQ3 当界面上不允许动力学混合时，能否建立值函数收敛于两个半平面中哈密顿-雅可比系统解的结论？
• RQ4 有效传输条件如何依赖于动力学、运行成本以及振荡界面的几何结构？
• RQ5 在缺乏可将界面平坦化的变量变换（如等尺度振荡情形中所用）的情况下，需要采用何种技术来处理该问题？

主要发现

• 值函数在局部一致收敛于由平坦界面 $\Gamma$ 分隔的每个半平面上的哈密顿-雅可比方程的粘性解。
• 在 $\Gamma$ 上的有效传输条件作为振荡数据的极限被推导出来，其依赖于动力学、运行成本以及界面的双尺度结构。
• 通过界面附近渐近行为所涌现的均质化哈密顿量，有效传输条件保留了振荡的记忆效应。
• 收敛性证明依赖于原问题的比较原理，以及基于哈密顿量与梯度有界性统一连续性估计的反证法。
• 有效传输条件通过与振荡单元问题相关的遍历常数的极限来表征，类似于网络中的节点问题。
• 该方法将[3]中的先前结果扩展到周期为 $\varepsilon^2$ 的奇异摄动情形，由于无法通过变量变换使界面平坦化，因此需要新的分析工具。