[论文解读] Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients in ${\mathbb R}^d$: sharpness of the results

Mark Dorodnyi, T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文为 $\mathbb{R}^d$ 中具有周期系数的双曲方程的均匀化问题建立了精确的算子范数估计，推导了 $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 和 $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 在 $H^s \to L^2$ 与 $H^s \to H^1$ 范数下的逼近结果，给出了 $epsilon$ 和 $dtau$ 的显式误差界。证明了这些估计在算子类型和 $dtau$-依赖性方面的精确性，并将其应用于二阶双曲方程的柯西问题 $`partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$，包括声学与弹性力学中的应用。

ABSTRACT

In $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$, a selfadjoint strongly elliptic second order differential operator ${\mathcal A}_\varepsilon$ is considered. It is assumed that the coefficients of the operator ${\mathcal A}_\varepsilon$ are periodic and depend on ${\mathbf x}/\varepsilon$, where $\varepsilon >0$ is a small parameter. We find approximations for the operators $\cos ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ and ${\mathcal A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ in the norm of operators acting from the Sobolev space $H^s({\mathbb R}^d)$ to $L_2({\mathbb R}^d)$ (with suitable $s$). We also find approximation with corrector for the operator ${\mathcal A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ in the $(H^s o H^1)$-norm. The question about the sharpness of the results with respect to the type of the operator norm and with respect to the dependence of estimates on $τ$ is studied. The results are applied to study the behavior of the solutions of the Cauchy problem for the hyperbolic equation $\partial_τ^2 {\mathbf u}_\varepsilon = - {\mathcal A}_\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon + {\mathbf F}$.

研究动机与目标

• 推导 $`cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 与 $`mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 在 $H^s \to L^2$ 与 $H^s \to H^1$ 算子范数下的精确算子范数估计。
• 分析这些估计在算子范数类型与时间参数 $dtau$ 依赖性方面的精确性。
• 将结果应用于具有周期系数的二阶双曲方程的柯西问题，建立解的收敛速率。
• 通过因子化算子形式，将分析扩展至声学方程与弹性系统等具体物理系统。

提出的方法

• 基于 Floquet–Bloch 理论与周期微分算子的解析摄动理论，采用谱方法。
• 采用因子化框架：$`mathcal{A}_\varepsilon = f^\varepsilon^* b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D}) f^\varepsilon$，其中 $g^\varepsilon$ 周期，$f^\varepsilon$ 有界且可逆。
• 利用算子理论技术，推导 $`cos(\varepsilon^{-1}\tau A(t)^{1/2})P$ 与 $A(t)^{-1/2}\sin(\varepsilon^{-1}\tau A(t)^{1/2})P$ 的逼近式。
• 引入校正项，以提高 $H^1$-范数逼近中 $`mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 的收敛速率。
• 通过均匀化算子 $`mathcal{A}^0 = b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D})$ 应用该方法，其中 $g^0$ 为 $g(\mathbf{x})$ 的调和平均。
• 结合平稳相位法与谱投影，推导出以 $epsilon$ 与 $dtau$ 表示的精确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $H^s \to L^2$ 与 $H^s \to H^1$ 算子范数下，$`cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 与 $`mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 的最优收敛速率为何？
• RQ2 时间参数 $dtau$ 的依赖性如何影响算子范数下误差估计的精确性？
• RQ3 所推导的误差界在算子范数类型（如 $L^2 \to L^2$ 与 $H^s \to H^1$）方面是否精确？
• RQ4 能否通过因子化算子结构将结果推广至声学与弹性方程等物理系统？
• RQ5 校正项在提高 $H^1$-范数收敛速率中起何作用？

主要发现

• 对于 $`mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$，在 $(H^s \to H^1)$-范数下的逼近误差界为 $\varepsilon^{s/2}(1+|\tau|)^{s/2}$，其中 $0 \leq s \leq 2$，当 $s=2$ 时收敛率为 $O(\varepsilon)$。
• 在 $(H^s \to L^2)$-范数下，$`cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 的逼近误差为 $O(\varepsilon^{s/2}(1+|\tau|)^{s/2})$，其中 $0 \leq s \leq 2$。
• 确认了估计的精确性：误差界中的 $epsilon$-依赖性与 $dtau$-依赖性在一般情况下无法进一步改善。
• 对于柯西问题 $`partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$，当 $\varepsilon \to 0$ 时，解 $`mathbf{u}_\varepsilon$ 在所有 $\tau \in \mathbb{R}$ 下收敛于均匀化解 $`mathbf{u}_0$ 于 $L^2$ 范数。
• 引入校正项 $`mathbf{v}_\varepsilon = \mathbf{u}_0 + \varepsilon \Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}) \Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0$ 后，$H^1$-误差被控制在 $C(1+|\tau|)\varepsilon \|\boldsymbol{\psi}_1\|_{H^2}$ 内，表明在 $H^2$ 正则性下 $H^1$ 中收敛率为 $O(\varepsilon)$。
• 结果在精确性意义上是精确的：由于周期系数的振荡性质，即使对光滑数据，误差界中的 $epsilon$-依赖性也无法进一步改善。