[论文解读] Homogenization with fractional random fields

Johann Gehringer, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 41被引用 5

一句话总结

本论文利用粗糙路径理论，为由长程依赖分数阶随机场驱动的慢-快系统建立了同伦化定理，以处理非马氏性、自相似的噪声。有效动力学由混合伊藤积分与杨积分驱动的粗糙微分方程描述，收敛性通过在粗糙路径拓扑下、基于强霍尔德范数的增强功能极限定理得到证明。

ABSTRACT

We consider a system of differential equations in a fast long range dependent random environment and prove a homogenization theorem involving multiple scaling constants. The effective dynamics solves a rough differential equation, which is `equivalent' to a stochastic equation driven by mixed Itô integrals and Young integrals with respect to Wiener processes and Hermite processes. Lacking other tools we use the rough path theory for proving the convergence, our main technical endeavour is on obtaining an enhanced scaling limit theorem for path integrals (Functional CLT and non-CLT's) in a strong topology, the rough path topology, which is given by a Hölder distance for stochastic processes and their lifts. In dimension one we also include the negatively correlated case, for the second order / kinetic fractional BM model we also bound the error.

研究动机与目标

• 解决具有长程依赖、非马氏性噪声（特别是分数布朗运动与埃尔米特过程）的系统中的同伦化问题。
• 将经典同伦化理论从混合或马氏环境扩展至赫斯特参数 H > 1/2 的长程依赖随机场。
• 在多重缩放常数下，于粗糙路径拓扑中为路径积分建立功能极限定理。
• 将有效动力学表征为由混合伊藤积分与杨积分驱动的粗糙微分方程。
• 在粗糙路径拓扑中建立一维与多维系统的一致收敛性，包括运动分数布朗运动模型中的误差界。

提出的方法

• 利用粗糙路径理论处理分数布朗运动及其积分的非半鞅性质。
• 在粗糙路径拓扑中应用增强缩放极限定理（功能中心极限定理与非中心极限定理），其定义基于过程及其提升的霍尔德范数。
• 采用马利温微积分框架，推导分数阶欧尔诺斯坦-尤伦堡过程的矩界与条件可积性。
• 通过欧尔诺斯坦-尤伦堡生成元实现散度与斯科尔霍德积分之间的对偶性，以控制同伦化极限中的交叉项。
• 通过渐近独立性与缩放路径积分的核收敛性，实现联合收敛结果。
• 通过识别粗糙路径提升中迭代积分的极限，推导出有效动力学，得到包含伊藤积分与杨积分的混合随机方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 H > 1/2 时，长程依赖分数阶噪声驱动的慢-快系统中，同伦化行为如何？
• RQ2 当快速环境为具有长程依赖的分数阶欧尔诺斯坦-尤伦堡过程时，极限有效动力学是什么？
• RQ3 粗糙路径理论能否用于在粗糙路径拓扑中建立非马氏性、自相似过程驱动的路径积分的收敛性？
• RQ4 当噪声同时包含维纳过程与埃尔米特过程时，有效方程的结构是什么？
• RQ5 在具有长程依赖场的多尺度系统中，缩放常数如何影响同伦化极限？

主要发现

• 有效动力学为由维纳过程与埃尔米特过程驱动的混合伊藤积分与杨积分所决定的粗糙微分方程。
• 在强霍尔德范数下，慢过程在粗糙路径拓扑中的收敛性已得到证明，确保路径收敛。
• 在一维情形下，同伦化结果对正相关与负相关情形均成立，扩展了先前结果。
• 对于二阶/运动分数布朗运动模型，本文给出了同伦化近似中显式的误差界。
• 在粗糙路径拓扑中建立了路径积分的增强功能极限定理，通过矩界证明了迭代积分的紧致性。
• 在渐近独立性条件下实现了粗糙路径提升的联合收敛，极限过程为独立维纳过程与埃尔米特过程的乘积。