[论文解读] Schwinger-Keldysh path integral for the quantum harmonic oscillator

Yoni BenTov|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2021

Quantum Mechanics and Applications参考文献 77被引用 15

一句话总结

本文对量子谐振子的施温格-凯尔迪什形式化提供了全面的路径积分推导，引入了一种概率守恒的 iε 规范，用于林德布拉德型开放系统动力学。通过拉尔金-奥夫奇尼科夫路径积分，系统地推导了跃迁振幅、两点关联函数和时间有序外序关联函数（OTOCs）的生成泛函，对基态、热态和第一激发态进行了显式计算，得到了二次作用量系统中影响相位和格林函数的精确表达式。

ABSTRACT

I review the generating function for quantum-statistical mechanics, known as the Feynman-Vernon influence functional, the decoherence functional, or the Schwinger-Keldysh path integral. I describe a probability-conserving $i\varepsilon$ prescription from a path-integral implementation of Lindblad evolution. I also explain how to generalize the formalism to accommodate out-of-time-ordered correlators (OTOCs), leading to a Larkin-Ovchinnikov path integral. My goal is to provide step-by-step calculations of path integrals associated to the harmonic oscillator.

研究动机与目标

• 为量子统计力学中的施温格-凯尔迪什生成泛函提供一种教学性、分步的路径积分推导。
• 利用路径积分方法，为林德布拉德型开放系统演化发展一种概率守恒的 iε 规范。
• 通过拉尔金-奥夫奇尼科夫路径积分，将施温格-凯尔迪什形式化推广至计算时间有序外序关联函数（OTOCs）。
• 计算谐振子在基态、热态和第一激发态下的精确影响相位和格林函数。
• 在淬火谐振子中，展示算符基方法与路径积分方法在 Wightman 函数和 OTOCs 计算中的等价性。

提出的方法

• 使用费曼路径积分计算具有时变质量的谐振子的跃迁振幅和波函数。
• 通过时间轮廓加倍并引入前向/后向场，应用施温格-凯尔迪什形式化来计算期望值。
• 将影响相位 Φ(J, J′) 定义为生成泛函的对数，并以格林函数表示 GF、GD、G< 和 G> 的显式表达式。
• 利用包含四份场复制的拉尔金-奥夫奇尼科夫路径积分，将形式化推广至 OTOCs：q0, q′0, q′′0, qf, q′f, q′′f。
• 在作用量中实施修正的 iε 规范，以确保耗散系统中的概率守恒，引入复质量与阻尼项。
• 通过对经典解和涨落进行显式路径积分，利用格林函数和边界条件计算完整的生成泛函。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用路径积分方法系统地推导谐振子的施温格-凯尔迪什路径积分？
• RQ2 谐振子在基态、热态和第一激发态下的影响相位形式为何？
• RQ3 如何修改 iε 规范以在林德布拉德型开放系统演化中保持概率守恒？
• RQ4 用于计算二次系统中时间有序外序关联函数（OTOCs）的拉尔金-奥夫奇尼科夫路径积分结构如何？
• RQ5 在淬火谐振子中，算符基方法对 Wightman 函数和 OTOCs 的计算与路径积分结果相比如何？

主要发现

• 谐振子在基态下的影响相位为 Φ(J, J′) = 1/2 ∫∫ dt dt′ [GF(t−t′)J(t)J(t′) − GD(t−t′)J′(t)J′(t′) − G<(t−t′)J(t)J′(t′) − G>(t−t′)J′(t)J(t′)]，其中 G<(t) = i/(2m) e^{imt} 且 G>(t) = −i/(2m) e^{−imt}。
• 对于热态，影响相位包含额外项 ∆(t) = 1/(e^{βm}−1) × i/m cos(mt)，使较小函数修正为 G<(t) = G₀<(t) + ∆(t)。
• 在淬火振子中，当 m(t < t₀) = m₀ 且 m(t > t₀) = m 时，较小格林函数为 G<(t, t′) = i/(2m₀) ζ(t−t₀)ζ*(t′−t₀)*，其中 ζ(t) = ˙G(t) + m₀G(t)，且 G(t) = 1/m sin(mt)。
• 第一激发态导致非二次影响相位：Φ(J, J′) = Φ₀(J, J′) − i ln[1 − 1/(2m) ∫∫ dt dt′ cos[m(t−t′)] (J(t)−J′(t))(J′(t)−J′(t′))]，表明非高斯行为。
• 用于 OTOCs 的拉尔金-奥夫奇尼科夫路径积分包含前向与后向场之间的交叉项，其广义影响相位涉及 GF、GD、G< 和 G> 函数。
• iε 规范导致 G<(t) = i/(2m) e^{i(1+sign(t)iε)mt}，在阻尼存在下确保幺正性和概率守恒。