[论文解读] Some title containing the words "homotopy" and "symplectic", e.g. this one

Pavol Ševera|ArXiv.org|May 10, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 116

一句话总结

本文提出了一种基于NQ-流形的同伦理论框架，用于通过Sullivan的有理同伦论将李代数胚整合到高阶群胚中，推广了辛和泊松结构。主要贡献是$Σ_n$-流形的同伦特征刻画，其中线性化同伦理论表明NQ-映射的空间受上同调控制，且在带有边界的流形上$Σ_n$-向量丛的截面空间具有辛对偶结构。

ABSTRACT

Using a basic idea of Sullivan's rational homotopy theory, one can see a Lie groupoid as the fundamental groupoid of its Lie algebroid. This paper studies analogues of Lie algebroids with non-trivial higher homotopy. Using various homotopy classes one can obtain e.g. central extensions of loop groups, or one can integrate a Lie biagebroid to a double symplectic groupoid. When combined with symplectic geometry, this idea leads to an infinite sequence of notions, starting with sympectic manifolds, Poisson manifolds and Courant algebroids. They are interrelated with higher-dimensional variational problems, and one can use them to define higher-dimensional Hamiltonian mechanics.

研究动机与目标

• 通过引入更高阶同伦性，将李代数胚的积分从经典基本群胚构造推广。
• 利用NQ-流形为$Σ_n$-流形（推广辛几何（n=0）、泊松几何（n=1）和柯朗代数胚（n=2））建立同伦框架。
• 建立NQ-映射同伦理论与$Σ_n$-向量丛截面的上同调之间的联系，尤其在边界条件下。
• 证明在带有边界的流形上，$Σ_n$-向量丛的NQ-截面同伦类空间自然携带辛结构，推广了庞加莱对偶性。

提出的方法

• 将NQ-流形用作微分几何结构的同伦模型，将其视为普通流形$M$的$T[1]M$。
• 将李代数胚$A \to M$的积分定义为从$TI \to A$的李代数胚态射的同伦类空间，其中同伦通过四边形上的态射给出。
• 应用有理同伦论定义$\Gamma$为类似基本群胚的对象，通过无限维Banach流形叶状结构（如Crainic-Fernandes所用）解决光滑性问题。
• 对空间$Y \to X$的NQ-映射进行线性化，以计算同伦类的切空间，使用$\psi^*TX$的截面的链复形。
• 将$Σ_n$-向量丛定义为具有度数$n$的辛纤维且与$Q$-结构相容的NQ-向量丛。
• 在$T[1]M$上使用Berezin积分，定义截面空间上的辛形式$\omega_M$，其度数为$n - \dim M$，并利用Stokes定理关联边界与体积分量的上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将李代数胚的积分推广至超越基本群胚的更高阶同伦？
• RQ2 NQ-流形在编码更高阶辛与泊松结构中起什么作用？它们如何统一$Σ_n$-流形？
• RQ3 NQ-映射的无穷小形变如何与上同调相关？负上同调群的同伦意义是什么？
• RQ4 在何种条件下，$Σ_n$-丛的NQ-截面同伦类空间携带辛结构？
• RQ5 边界的存在如何影响$Σ_n$-丛截面空间中的辛对偶性？

主要发现

• 同伦类的NQ-映射$Y \to X$的空间，记为$H^0(\Gamma(E))$，同构于$\psi^*TX$的NQ-截面同伦类空间，其中同伦关系通过线性同伦定义。
• 当$n > \deg X$时，任意NQ-映射$T[1]B^n \to X$可通过小同伦局部同伦于常值映射，意味着$X$在局部具有度数$\deg X$的同伦型。
• $\partial$上截面为零的NQ-截面同伦类空间$Z\Gamma(E)/B\Gamma_0(E)$是辛的，其辛形式由$T[1]M$上的积分诱导。
• 当$M$为闭流形且$\dim M = n$时，上同调$H(\Gamma(E))$是辛的，将庞加莱对偶性推广至$Σ_n$-丛的设定。
• 若$M$有边界，则空间$H(\Gamma(E))$非辛，但通过在$T[1]\partial M$上选择一个拉格朗日子丛$L \subset E'$，可经拉格朗日约化得到辛空间$H(\Gamma_L(E))$。
• $H(E) \to H(E')$的像在$H(E')$中为拉格朗日子空间，反映了体积分量与边界上同调之间的对偶性。