[论文解读] Homological S-Duality in 4d N=2 QFTs

Matteo Caorsi, Sergio Cecotti|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文通过将S-对偶群S(F)识别为簇范畴C(F)的三角等价群（模去对物理可观测量无影响的平凡作用），建立了4d N=2量子场论中S-对偶性的同调框架。结果表明，S(F)是Sp(2g, Z)的离散子群，其中g为Coulomb分支维数，并通过广义 braid 群与望远镜函子给出了具体的矩阵实现，揭示了在SO(8) × SO(5)^3 × SO(3)^6等模型中S-对偶性的增强现象，尤其在旋量物质存在时。

ABSTRACT

The $S$-duality group $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ of a 4d $\mathcal{N}=2$ supersymmetric theory $\mathcal{F}$ is identified with the group of triangle auto-equivalences of its cluster category $\mathscr{C}(\mathcal{F})$ modulo the subgroup acting trivially on the physical quantities. $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ is a discrete group commensurable to a subgroup of the Siegel modular group $Sp(2g,\mathbb{Z})$ ($g$ being the dimension of the Coulomb branch). This identification reduces the determination of the $S$-duality group of a given $\mathcal{N}=2$ theory to a problem in homological algebra. In this paper we describe the techniques which make the computation straightforward for a large class of $\mathcal{N}=2$ QFTs. The group $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ is naturally presented as a generalized braid group. The $S$-duality groups are often larger than expected. In some models the enhancement of $S$-duality is quite spectacular. For instance, a QFT with a huge $S$-duality group is the Lagrangian SCFT with gauge group $SO(8) imes SO(5)^3 imes SO(3)^6$ and half-hypermultiplets in the bi- and tri-spinor representations. We focus on four families of examples: the $\mathcal{N}=2$ SCFTs of the form $(G,G^\prime)$, $D_p(G)$, and $E_r^{(1,1)}(G)$, as well as the asymptotically-free theories $(G,\widehat{H})$ (which contain $\mathcal{N}=2$ SQCD as a special case). For the $E_r^{(1,1)}(G)$ models we confirm the presence of the $PSL(2,\mathbb{Z})$ $S$-duality group predicted by Del Zotto, Vafa and Xie, but for most models in this class $S$-duality gets enhanced to a much larger group.

研究动机与目标

• 将4d N=2 QFT F的S-对偶群S(F)识别为其簇范畴C(F)的三角自等价群，模去对物理量无影响的平凡作用。
• 通过将其与导出范畴和根范畴的自等价联系，将S(F)的计算问题转化为同调代数问题。
• 为一大类N=2理论（包括SCFT和渐近自由理论）提供系统化的S(F)计算方法。
• 证明S-对偶性通常超出直观预期的增强，尤其在具有半超多重态的旋量表示的理论中。
• 将S(F)具体实现为广义braid群，将其与Siegel模群Sp(2g, Z)联系起来。

提出的方法

• 定义与4d N=2 QFT F相关的簇范畴C(F)，其中BPS态对应于范畴中的对象。
• 将S-对偶群S(F)识别为C(F)的三角自等价群，模去在物理可观测量上作用平凡的自等价。
• 利用范畴化的4d/2d对偶对应，通过根范畴R(˜F)将4d理论与2d量子场论联系起来，将S-对偶性与量子单值性联系起来。
• 通过Thomas–Seidel扭转和望远镜函子构造自等价，特别利用导出范畴中的球面对称半轨道。
• 通过2d量子单值性和导出Picard群导出的矩阵LA，将S(F)实现为作用于味量子数晶格的矩阵群。
• 将该框架应用于特定类：(G, G′)，Dp(G)，E(1,1)_r(G)，以及(G, bH)，利用二元函子和规范SYM规范区段计算对偶群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用同调代数系统地计算4d N=2 QFT的S-对偶群S(F)？
• RQ2 S(F)的精确代数结构是什么？它与Siegel模群Sp(2g, Z)有何关系？
• RQ3 为何某些N=2理论（如具有旋量物质的理论）表现出显著增强的S-对偶性？
• RQ4 簇范畴C(F)的自等价如何对应于物理的S-对偶变换？
• RQ5 4d S-对偶群能否实现为广义braid群？其矩阵表示是什么？

主要发现

• S-对偶群S(F)同构于簇范畴C(F)的三角自等价群，模去在物理可观测量上作用平凡的自等价。
• S(F)是Sp(2g, Z)的离散子群，且与之共轭，其中g为Coulomb分支维数，提供了具体的矩阵实现。
• 对于E(1,1)_r(G)模型，本文确认了Del Zotto、Vafa与Xie所预测的PSL(2, Z)对偶性，但表明其通常被增强为更大的群。
• 在具有SO(8) × SO(5)^3 × SO(3)^6规范群及双/三旋量表示的半超多重态的Lagrangian SCFT中，S(F)异常庞大，表明S-对偶性出现惊人增强。
• S-对偶群自然地表现为广义braid群，其生成元来自根范畴R(˜F)中的球面对称半轨道与望远镜函子。
• 由2d量子单值性导出的矩阵LA实现了S(F)在味量子数晶格上的作用，其作用为味对称性的Weyl群，在某些情况下具有复反射群结构。