[论文解读] Homology and homotopy in semi-abelian categories

Tim Van der Linden|ArXiv.org|Jul 4, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文确立了半阿贝尔范畴作为非交换同调与同伦理论的统一框架，推广了经典结果如霍普夫公式和霍赫希尔德-塞尔序列。它表明，在半阿贝尔范畴中，单纯对象与内部范畴的同调表现良好，具有长正合同调序列，且通过余圆柱构造，单纯同伦关系形成等价关系，即使外部同伦不具有对称性。

ABSTRACT

The theory of abelian categories proved very useful, providing an axiomatic framework for homology and cohomology of modules over a ring and, in particular, of abelian groups. For many years, a similar categorical framework has been lacking for non-abelian (co)homology, the subject of which includes the categories of non-abelian groups, of rings, Lie algebras, etc. The notion of semi-abelian category due to Janelidze, Marki and Tholen allows a unified study of many important homological properties of such categories. For instance, in any semi-abelian category, the classical diagram lemmas (the Short Five Lemma, the 3x3 Lemma, the Snake Lemma, Noether's Isomorphism Theorems) hold. The point of this thesis is, that the semi-abelian framework is indeed perfectly suited for the study of non-abelian (co)homology and the corresponding homotopy theory. It describes the foundations for a categorical homology theory that unifies many basic aspects of the classical (co)homology theories of e.g., groups, Lie algebras and crossed modules. Starting from homology of (proper) chain complexes and of simplicial objects, a semi-abelian version of Barr-Beck cotriple homology is introduced. A systematic study of the theory of Baer invariants in this context yields categorical versions of Hopf's formula (describing the second homology object in terms of commutators) and the Stallings-Stammbach sequence. We obtain a Universal Coefficient Theorem, a version of the Hochschild-Serre sequence, and an interpretation of the second cohomology group in terms of isomorphism classes of central extensions. Also, Quillen model category structures for homotopy of simplicial objects and internal categories are studied, and are shown to be compatible with the respective semi-abelian notions of homology.

研究动机与目标

• 为阿贝尔范畴之外的非交换（上）同调提供范畴论框架。
• 证明半阿贝尔范畴——即带有零对象、巴尔恰当、包恩预模化且具有二元并积的范畴——支持表现良好的同调理论。
• 将经典结果如霍普夫公式与霍赫希尔德-塞尔序列推广至半阿贝尔范畴背景。
• 研究单纯同伦在半阿贝尔范畴中的行为，特别是外部同伦在群等范畴中不具有对称性时的情形。
• 确立通过余圆柱构造的内部同伦关系为等价关系，即使外部同伦失败。

提出的方法

• 将链复形的概念扩展至拟带零对象、恰当且预模化的范畴，通过核-像条件定义同调。
• 在马尔采夫范畴中，使用莫尔复形构造，为任意单纯对象关联一个正规链复形。
• 应用交换子理论与贝尓不变量，构造霍普夫公式的广义版本及斯托林斯-施坦巴赫序列。
• 在正则马尔采夫范畴中，利用像分解引入单纯对象上的余圆柱函子，以定义内部同伦。
• 通过面映射的余等化子刻画内部同伦，利用∂₀,…,∂ₙ₊₁的广义余等化子证明≃K为等价关系。
• 证明在半阿贝尔范畴中，内部同伦≃K与同调等价一致，通过η₀(B)◦f₀ = η₀(B)◦g₀。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换同调能否在阿贝尔范畴之外的范畴框架中系统化发展？
• RQ2 在半阿贝尔范畴中，即使外部同伦失败，内部单纯同伦关系≃K是否仍为等价关系？
• RQ3 经典结果如霍普夫公式与霍赫希尔德-塞尔序列能否推广至半阿贝尔范畴？
• RQ4 莫尔复形构造在半阿贝尔范畴中表现如何？它揭示了同调的哪些性质？
• RQ5 在半阿贝尔范畴中，内部同伦≃K与同调等价之间的关系是什么？

主要发现

• 在半阿贝尔范畴中，通过余圆柱定义的内部同伦关系≃K即使在外部单纯同伦不具有对称性时，仍为等价关系。
• 在正则马尔采夫范畴中，对任意单纯态射f, g，有f ≃K g当且仅当η(B) ◦ f = η(B) ◦ g，其中η为面映射的余等化子。
• 在半阿贝尔范畴中，f ≃K g当且仅当H₀f = H₀g，将零度的同伦等价与同调等价联系起来。
• 在拟带零对象、恰当的马尔采夫范畴中，单纯对象的莫尔复形始终为正规链复形。
• 在预模化范畴中，归一化函子N: SA → PCh⁺A是正合的，确保单纯对象的短正合序列诱导出长正合同调序列。
• 在实践中，内部同伦关系≃K过于微弱，因为将边的端点识别会导致整个单纯结构坍塌。