[论文解读] Homology and manifolds with corners

Edmundo Castillo, Rafael Díaz|ArXiv.org|Nov 27, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于带角紧致定向流形映射的新型链模型，用于光滑流形的同调理论，克服了经典单纯链模型在链层面上定义交积时的局限性。该模型实现了几何上自然的交积定义，并为构造同调量子场论提供了新框架，推广了弦拓扑与同伦量子场论。

ABSTRACT

We define a model for the homology of manifolds and use it to describe the intersection product on the homology of compact oriented manifolds and to define homological quantum field theories which generalizes the notions of string topology introduced by Chas and Sullivan and homotopy quantum field theories introduced by Turaev.

研究动机与目标

• 解决标准单纯链模型在链层面上定义交积时的困难，原因在于乘积和预像域的非单纯性。
• 通过使用带角流形作为链域，克服在剖分乘积和对角预像域时的组合障碍。
• 基于从紧致定向带角流形到 $ M $ 的光滑映射，构建同调理论，确保与奇异同调同构。
• 通过此新链模型构造同调量子场理论（HLQFT），推广弦拓扑与同伦量子场论。
• 在保持定向的微分同胚下，建立HLQFT构造的函子性，确保在不同流形间的一致性。

提出的方法

• 定义链复形 $ C(M) = \bigoplus_{i=0}^\flat C_i(M) $，其中 $ C_i(M) $ 是由对 $ (K, c) $ 生成的自由向量空间的商，$ K $ 为紧致定向带角流形，$ c: K \to M $ 为光滑映射，模去方向与不相交并关系。
• 定义微分 $ \partial(K, c) = \sum_{L \in \pi_0(\partial_1 K)} (\overline{L}, c|_{\overline{L}}) $，使用第一边界层并赋予诱导方向。
• 利用带角流形的笛卡尔积定义乘积 $ c \times d: K \times L \to M \times M $，其在新模型中构成有效链。
• 对横截链 $ c $ 与 $ d $，定义交积 $ c \cap d $ 为 $ ((c \times d)^{-1}(\Delta_M), c \circ \pi) $，其中 $ \pi $ 为从预像子流形（带角）的投影。
• 通过函子 $ \mathrm{H}: \mathrm{Cob}_{d,r}^M \to \mathrm{vect} $ 构造受限同调量子场理论（HLQFT），其在对象上定义为 $ \mathrm{H}(N, f, <) = \mathrm{H}(\overline{N}) $，在态射上通过映射空间的拉回定义。
• 证明映射 $ M \mapsto \mathrm{HLQFT}_d(M) $ 是函子性的，通过定向流形与微分同胚的对偶范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖非单纯域剖分的前提下，基于几何方法在链层面上定义同调的交积？
• RQ2 基于带角流形的同调模型是否与奇异同调同构，同时支持自然的代数结构？
• RQ3 该模型能否用于构造推广弦拓扑与同伦量子场论的同调量子场理论？
• RQ4 在底层面流形的定向保持微分同胚下，HLQFT构造的函子性行为如何？
• RQ5 当配备新链模型时，$ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ 上出现何种代数结构？其与已知结构（如扭曲Poisson代数或Gerstenhaber代数）有何关联？

主要发现

• 带角流形链复形 $ C(M) $ 的同调与 $ M $ 的奇异同调同构，同构由单纯形作为带角流形的包含诱导。
• 横截链 $ c $ 与 $ d $ 的交积在链层面上良好定义为 $ ( (c \times d)^{-1}(\Delta_M), c \circ \pi ) $，其中预像是一个带角子流形。
• 小 $ d $-维圆盘的操演 $ \mathrm{H}(D_d) $ 在 $ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ 上作用，恢复了已知结果：$ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ 携带微分分次扭曲Poisson代数或Gerstenhaber代数结构，具体取决于 $ d $ 的奇偶性。
• 通过函子 $ \mathrm{H} $ 构造受限同调量子场理论 $ \mathrm{HLQFT}_{d,r}(M) $，其将同调群分配给cobordism，并通过拉回分配线性映射。
• 映射 $ M \mapsto \mathrm{HLQFT}_d(M) $ 在紧致定向流形与定向保持微分同胚的对偶范畴上是函子性的，通过 $ \varphi_* $ 沿函子的拉回实现。
• 范畴 $ \mathrm{HLQFT}_d(M) $ 定义为从 $ \mathrm{Cob}_d^M $ 到向量空间范畴的张量函子的范畴，为 $ M $ 上的HLQFT提供了系统性框架。