[论文解读] Homotopy field theory in dimension 2 and group-algebras

Vladimir Turaev|ArXiv.org|Oct 4, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 77

一句话总结

本文在二维引入了同伦量子场理论（HQFT），通过引入映射到空间 $X = K(\pi,1)$ 的同伦类，推广了拓扑量子场理论。通过交叉 $\pi$-代数，本文对 $(1+1)$-维HQFT进行了完整分类，表明在特征 0 域上的半上同调HQFT由半单交叉群代数分类，并满足 Verlinde 型公式。

ABSTRACT

We apply the idea of a topological quantum field theory (TQFT) to maps from manifolds into topological spaces. This leads to a notion of a (d+1)-dimensional homotopy quantum field theory (HQFT) which may be described as a TQFT for closed d-dimensional manifolds and (d+1)-dimensional cobordisms endowed with homotopy classes of maps into a given space. For a group $π$, we introduce cohomological HQFT's with target $K(π,1)$ derived from cohomology classes of $π$ and its subgroups of finite index. The main body of the paper is concerned with (1+1)-dimensional HQFT's. We classify them in terms of so called crossed group-algebras. In particular, the cohomological (1+1)-dimensional HQFT's over a field of characteristic 0 are classified by simple crossed group-algebras. We introduce two state sum models for (1+1)-dimensional HQFT's and prove that the resulting HQFT's are direct sums of rescaled cohomological HQFT's. We also discuss a version of the Verlinde formula in this setting.

研究动机与目标

• 通过将流形和cobordism到空间 $X$ 的同伦类纳入，推广拓扑量子场理论（TQFT），从而引入 $(d+1)$-维同伦量子场理论（HQFT）的概念。
• 利用代数结构，特别是交叉 $\pi$-代数，对目标为 $X = K(\pi,1)$ 的 $(1+1)$-维HQFT进行分类。
• 使用双角和非退化的 $\pi$-代数构造 $(1+1)$-维HQFT的状态和模型，证明其同伦不变性，并与上同调HQFT建立联系。
• 为半上同调 $(1+1)$-维HQFT建立Verlinde型公式，并证明在代数闭域且特征为 0 时，所有此类HQFT均为半上同调。

提出的方法

• 将 $(d+1)$-维HQFT定义为在固定空间 $X$ 上赋予流形与cobordism的同伦类的TQFT，其中 $X = K(\pi,1)$ 在 $(1+1)$-维情形中起核心作用。
• 将 $\pi$-代数定义为被群 $\pi$ 分次的结合代数 $L$，满足 $L_\alpha L_\beta \subset L_{\alpha\beta}$，并引入交叉 $\pi$-代数这一子类，其满足与群作用和内积的附加相容性条件。
• 为 $(1+1)$-维HQFT构造两种状态和模型：一种基于双角 $\pi$-代数，另一种基于非退化 $\pi$-代数，后者需对固定同伦类中的所有 $\pi$-系统求和，以确保同伦不变性。
• 利用 $\pi$-系统（通过 $\pi$-代数结构定义）的划分函数，定义状态和不变量，证明由此产生的赋值构成一个良定义的HQFT。
• 应用Frobenius代数和群上同调理论，从 $H^2(\pi, K^*)$ 中的2-上循环构造上同调HQFT，并证明其与交叉 $\pi$-代数相对应。
• 证明在特征 0 域上，由非退化 $\pi$-代数生成的所有 $(1+1)$-维HQFT均为半上同调，因此满足Verlinde型公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过将映射到拓扑空间 $X$ 的同伦类纳入，推广拓扑量子场理论，从而引入同伦量子场理论（HQFT）的概念？
• RQ2 哪些代数结构对目标为 $X = K(\pi,1)$ 的 $(1+1)$-维HQFT进行分类？它们与群上同调和Frobenius代数有何关系？
• RQ3 能否使用 $\pi$-代数构造 $(1+1)$-维HQFT的状态和模型？这些模型是否产生同伦不变的不变量？
• RQ4 在何种条件下，$(1+1)$-维HQFT满足Verlinde型公式？这与底层交叉 $\pi$-代数的半单性有何关联？
• RQ5 在代数闭域且特征为 0 时，所有 $(1+1)$-维HQFT是否均为半上同调？这对它们的分类意味着什么？

主要发现

• 存在从目标为 $X = K(\pi,1)$ 的 $(1+1)$-维HQFT的同构类到交叉 $\pi$-代数之间的双射，建立了完全的代数分类。
• 在特征 0 域上，半上同调 $(1+1)$-维HQFT由半单交叉 $\pi$-代数分类，且此类HQFT满足Verlinde型公式。
• 基于双角 $\pi$-代数的状态和模型产生同伦不变的划分函数，定义了一个行为良好的 $(1+1)$-维HQFT。
• 对于非退化 $\pi$-代数，划分函数通常不具同伦不变性，但通过对固定同伦类中所有 $\pi$-系统求和，可恢复不变性并得到HQFT。
• 在代数闭域且特征为 0 时，由非退化 $\pi$-代数生成的所有 $(1+1)$-维HQFT均为半上同调，意味着它们满足Verlinde公式。
• 从 $H^2(\pi, K^*)$ 中的群上同调类构造交叉 $\pi$-代数，可得到上同调HQFT；当 $\pi = 1$ 时，该构造恢复了经典 $(1+1)$-维TQFT由交换Frobenius代数分类的结果。