[论文解读] Homology of moduli spaces of curves and commutative homotopy algebras

Takashi Kimura, Jim Stasheff+1 more|ArXiv.org|Feb 8, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文建立了模空间的同调与交换同伦代数（C∞-代数）之间的联系，表明在满足度数条件时，紧化黎曼曲面模空间的奇异链操作子代数自然地携带C∞-代数结构。关键结果是一个收敛于模空间上同调的谱序列，其E1项由紧化模空间上同调的模形式共操作子的cobar构造给出，由于霍奇纯性，该谱序列在E2项处退化。

ABSTRACT

We propose an explicit relation between the cohomology of compactified and noncompactified moduli spaces of algebraic curves with punctures. This relationship generalizes one between commutative algebras and Lie algebras proposed by Lazard, Kontsevich and Ginzburg and Kapranov. More explicitly, we show that the cohomology of one moduli space is the graph complex decorated with the cohomology of the other, which in its turn generalizes Getzler's result for the genus zero moduli. We also show that a certain class of algebras over the chain operad of compactified moduli spaces has a natural structure of a commutative homotopy algebra. This may be regarded as a lifting of the dot product of Lian-Zuckerman's BV algebra structure to the cochain level, thus complementing the results of an earlier paper hep-th/9307114 of the authors regarding the BV bracket.

研究动机与目标

• 通过曲线模空间的同调，建立C∞-代数的几何实现。
• 回应Lian和Zuckerman关于将BV代数结构提升至上链层的问题。
• 通过H•(M̄_{g,n})的cobar构造，构建一个收敛于模空间M_{g,n}上同调的谱序列。
• 证明由于H•(M̄_{g,n})的霍奇结构纯性，该谱序列在E2项处退化。
• 描述一个针对同调H•(M̄_{g,n})的对偶谱序列，该谱序列在g=0时才可能在E2项退化，一般情况下并非如此。

提出的方法

• 使用Deligne-Knudsen-Mumford紧化模空间M̄(n)的奇异链操作子。
• 对模形式共操作子H•(M̄_{g,n})应用cobar构造，以构建收敛于H•(M_{g,n})的谱序列。
• 利用H•(M̄_{g,n})上霍奇结构的纯性，证明该谱序列在E2项退化。
• 在复形V的自同态操作子上定义滤子，以诱导操作子结构上的谱序列。
• 证明滤子C•(M̄)-代数诱导出谱序列的E0、E1和E2项上的代数结构。
• 使用费曼变换和广义cobar构造，在操作子框架下处理图与树。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在紧化曲线模空间的奇异链操作子代数上赋予C∞-代数结构？
• RQ2 与C•(M̄_{g,n})的自然滤子相关的谱序列是否在E2项退化？若是，原因是什么？
• RQ3 如何利用操作子同伦理论，将BRST上同调中的BV代数结构提升至上链层？
• RQ4 cobar构造在通过谱序列实现模空间M_{g,n}上同调方面起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，H•(M̄_{g,n})的对偶谱序列在E2项退化？

主要发现

• 收敛于H•(M_{g,n})的谱序列的E1项同构于模形式共操作子H•(M̄_{g,n})的cobar构造。
• 由于H•(M̄_{g,n})上霍奇结构的纯性，该谱序列在E2项退化。
• 满足度数条件（在度数 > n−2 的链上为零）的C•(M̄(n))-代数自然地成为C∞-代数。
• 对滤子复形V相关的谱序列的E1项同构于带有微分Q的V的自同态操作子。
• 该谱序列的E2项同构于操作子H•(M̄_{g,n})，且H(V)成为该操作子上的代数。
• 当g=0时，H•(M̄_{g,n})的对偶谱序列也在E2项退化，但当g>0时一般不退化。