[论文解读] Homomorphic public-key cryptosystems over groups and rings

D. Grigoriev, Ilia Ponomarenko|ArXiv.org|Sep 8, 2003

Cryptography and Data Security参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于整数矩阵群中成员问题困难性的新型同态公钥密码系统，适用于任意非平凡有限群，并首次引入了有限交换环上的同态密码系统。该系统依赖于从 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 的子群到有限群 $H$ 的陷门同态，通过矩阵表示和基于核的加密实现安全秘密计算，同时利用生成元的私密基底实现高效解密。

ABSTRACT

We propose a new homomorphic public-key cryptosystem over arbitrary nonidentity finite group based on the difficulty of the membership problem for groups of integer matrices. Besides, a homomorphic cryptosystem is designed for the first time over finite commutative rings.

研究动机与目标

• 基于整数矩阵群中成员问题的计算困难性，设计一种适用于任意非平凡有限群的同态公钥密码系统。
• 首次将同态加密扩展到有限交换环，实现在环结构上的秘密计算。
• 通过 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 中自由群的私密生成元基底实现陷门机制，实现高效解密，同时保持公钥安全性。
• 基于目前量子算法无法解决的问题构建安全性，不同于基于因数分解的系统。
• 证明该密码系统可仅使用整数矩阵算术实现高效加密与解密，即使底层群为无限群亦成立。

提出的方法

• 构造一个同态映射 $f: G \to H$，其中 $G$ 是 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 的有限生成子群，$H$ 是由生成元与关系给出的非平凡有限群。
• 利用嵌入在 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 中的自由群 $F$ 的私密自由生成元基底，实现 $G$ 中矩阵表示的高效计算，而公钥仅揭示一个‘劣质’基底，使得表示问题困难。
• 将 $h \in H$ 的加密定义为 $g \cdot g_h$，其中 $g \in \ker(f)$ 为随机元素，且满足 $f(g_h) = h$，从而在群运算下保持同态性质。
• 对于有限交换环 $R$，将乘法群 $R^\times$ 分解为循环分量 $H_i$，在每个 $H_i$ 上构造同态密码系统，并通过乘积群将它们组合为 $R^\times$ 上的系统。
• 将环 $\mathcal{A}$ 表示为 $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{Z}_m)$ 的子环，其中 $n$ 和 $\log m$ 有界，从而可在 $\mathbb{F}_p$ 上高效进行线性代数运算，以求解成员问题与同态映射评估。
• 利用 $\ker(f)$ 在 $\mathcal{A}$ 中的横截集 $X$ 及已知的 $f(x)$ 值（$x \in X$），通过 $\mathbb{F}_p$ 上的线性代数在多项式时间内计算任意 $a \in \mathcal{A}$ 的 $f(a)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 中的成员问题困难性，为任意非平凡有限群构造同态公钥密码系统？
• RQ2 是否可能设计有限交换环上的同态密码系统？若可行，如何将其约化为群级构造？
• RQ3 能否通过嵌入在 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 中的自由群的私密生成元基底实现陷门机制，以实现高效解密同时保持公钥安全性？
• RQ4 当 $\mathcal{A}$ 是相对于 $R$ 大小有界的环时，如何高效评估同态映射 $f: \mathcal{A} \to R$？
• RQ5 计算 $f(a)$（$a \in \mathcal{A}$）的复杂度是多少？能否将其约化为有限域上的线性代数？

主要发现

• 基于 $G \leq \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 的同态映射 $f: G \to H$，为任意非平凡有限群 $H$ 构建了同态公钥密码系统，其安全性依赖于 $G$ 中成员问题的困难性。
• 通过将乘法群 $R^\times$ 分解为循环分量，并在每个分量上组合同态系统，首次提出了有限交换环上的同态密码系统。
• 通过 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 中自由群 $F \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 的私密生成元基底实现高效解密，支持多项式时间内的矩阵表示与核成员判定。
• 对于特征为 $m$ 的环 $\mathcal{A}$，若 $\max\{n, \log m\} \leq |R|^{O(1)}$，则 $f(a)$ 的评估可在 $\mathbb{F}_p$ 上通过线性代数在多项式时间内完成，其中 $p$ 整除 $\mathcal{A}$ 的特征。
• 构造中使用的辅助环 $\mathcal{A}$ 的大小为 $|R|$ 的双指数级，但本文表明，在自然假设下，该大小无法减小而不损害安全性。
• 该系统对量子攻击保持安全，因为非阿贝尔矩阵群中的成员问题尚未被证明可被量子算法解决。