[论文解读] Homotopic classification of band structures: Stable, fragile, delicate, and stable representation-protected topology

Piet W. Brouwer, Vatsal Dwivedi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Condensed Matter Physics参考文献 96被引用 1

一句话总结

本文提出了一种在晶格对称性下对能隙能带结构进行同伦分类的框架，区分了稳定、脆弱、脆弱性以及由表示保护的稳定拓扑。通过在CW复形上应用同伦理论，系统地分类了具有C2、C4、D4和时间反演对称性的无自旋能带结构，识别出一类由能带表示保护的新稳定拓扑，该拓扑即使在能带数量受脆弱性约束的条件下，仍能支持异常边界态。

ABSTRACT

The topological classification of gapped band structures depends on the particular definition of topological equivalence. For translation-invariant systems, stable equivalence is defined by a lack of restrictions on the numbers of occupied and unoccupied bands, while imposing restrictions on one or both leads to “fragile” and “delicate” topology, respectively. In this article, we describe a homotopic classification of band structures—which captures the topology beyond the stable equivalence—in the presence of additional lattice symmetries. As examples, we present complete homotopic classifications for spinless band structures with twofold rotation, fourfold rotation and fourfold dihedral symmetries, both in presence and absence of time-reversal symmetry. Whereas the rules of delicate and fragile topology do not admit a bulk-boundary correspondence, we identify a version of stable topology, which restricts the representations of bands, but not their numbers, which does allow for anomalous states at symmetry-preserving boundaries, which are associated with nontrivial bulk topology.

研究动机与目标

• 系统分类具有晶格对称性的能带结构中超越标准稳定等价关系的脆弱、脆弱性及稳定拓扑相。
• 识别出一类新的稳定拓扑，其不仅受对称性保护，还受能带特定不可约表示的保护。
• 建立一个同伦框架，以捕捉超越稳定等价关系的拓扑特性，特别是在能带数量受限的系统中。
• 阐明尽管存在脆弱或脆弱性分类规则，异常无能隙边界态仍能存在的条件。
• 扩展对具有非平凡表示内容的离散对称性下体-边界对应关系的理解。

提出的方法

• 在固定占据与未占据能带数量下，利用CW复形上的同伦理论对能带结构进行分类，从而系统处理脆弱性拓扑。
• 将布里渊区上向量丛的分类问题转化为同伦分类问题，将能带结构映射为从动量空间到格拉斯曼流形的连续映射。
• 应用等变同伦理论以引入空间对称性（如C2、C4、D4和时间反演），从而得到对称性受限的分类空间。
• 通过计算对称轨道空间的同伦群推导分类群，尤其针对非阿贝尔D4对称性。
• 通过分析能带结构在添加平凡能带时的行为，区分稳定、脆弱和脆弱性拓扑不变量。
• 通过在对称性保持变形下能带表示类型的不变性，识别出表示保护的稳定拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用同伦理论方法，在晶格对称性存在的情况下系统分类脆弱和脆弱性拓扑不变量？
• RQ2 能带表示在稳定化支持异常边界态的拓扑不变量中起到何种作用，即使存在类似脆弱性的约束？
• RQ3 在何种对称性条件下，存在超越稳定等价关系的非平凡同伦分类？
• RQ4 D4对称性中二维不可约表示的存在如何导致一类新的稳定拓扑？
• RQ5 对于在标准分类下为脆弱或脆弱性，但受表示保护而稳定的拓扑相，能否建立体-边界对应关系？

主要发现

• 本文为具有C2、C4、D4和时间反演对称性的无自旋能带结构建立了完整的同伦分类，揭示了此前未被分类的拓扑相。
• 识别出一类由能带特定表示内容保护的新稳定拓扑，即使在脆弱或脆弱性分类规则适用时，仍能支持异常边界态。
• 对于D4对称系统，证明了二维不可约表示的存在是表示保护稳定拓扑出现的关键。
• 分类结果表明，尽管脆弱和脆弱性拓扑因原胞尺寸固定而不支持体-边界对应关系，但表示保护的稳定拓扑则支持。
• 该框架成功重新推导出已知相（如C4对称的霍普夫绝缘体），并在C2和D4系统中识别出具有非平凡角态或铰链态的新相。
• 该方法通过在同伦框架内取能带数量的极限，为不同等价方案（稳定、脆弱、脆弱性）下的拓扑相分类提供了一体化方法。