[论文解读] Homotopically discrete higher categorical structures

Simona Paoli|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文引入了同伦离散的 $n$-重范畴作为 0-类型的一种高阶范畴模型，提供了两种等价描述：一种是通过迭代的同伦单子（nerve）的塞加尔型模型，另一种是通过迭代的内部等价关系。关键贡献在于证明了这两种描述在范畴论上是同构的，从而为弱球状高阶范畴建立了基础模型。

ABSTRACT

We introduce the notion of homotopically discrete n-fold category as an n-fold generalization of a groupoid with no non-trivial loops. We give two equivalent descriptions of this structure: in terms of a Segal-type model and in terms of iterated internal equivalence relations. We also show that homotopically discrete n-fold categories form an n-fold categorical model of 0-types.

研究动机与目标

• 定义并表征同伦离散的 $n$-重范畴作为具有无非平凡环路的群范畴的高阶范畴推广。
• 建立两种等价描述：一种基于使用迭代单子的塞加尔型模型，另一种基于迭代的内部等价关系。
• 证明这些结构在同伦理论意义上可作为 0-类型的模型，推广了高维中的离散集合。
• 为弱球状 $n$-重范畴提供范畴论基础，从而支持弱高阶范畴的新模型。

提出的方法

• 通过归纳法构建定义：同伦离散的 $n$-重范畴是同伦离散的 $(n-1)$-重范畴上的单纯对象。
• 塞加尔型模型通过单子函子 $J_n: \text{Cat}_{\text{hd}}^n \to [\triangle^{n-1^{\text{op}}}, \text{Cat}]$ 构建，其在每级上都是等价关系。
• 第二种描述使用 $n$-重范畴范畴中的迭代内部等价关系，记为 $\mathsf{EqRel}^n$，其中每一级都是等价关系。
• 定义了 $n$-等价，作为全忠实且本质满射函子的高维推广，其特征通过离散模型的同构给出。
• 两种描述之间等价性的证明依赖于对 $n$ 的归纳法，利用了当 $X \in \text{Cat}_{\text{hd}}^n$ 时，$p^{(n)}X$ 和 $X_s$ 属于 $\text{Cat}_{\text{hd}}^{n-1}$，且 $f_{\underline{s}}$ 是满射的事实。
• 通过证明每个 $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$ 可表示为 $X = (\xi_n X)_0[f_{n}X]$，其中 $f_{n}X$ 是满射，且反之亦然，建立了同构 $\mathsf{EqRel}^n \cong \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 同伦离散结构的观念如何从群范畴推广到 $n$-重范畴？
• RQ2 同伦离散 $n$-重范畴的两种等价描述是什么，它们之间有何关系？
• RQ3 同伦离散 $n$-重范畴能否作为高阶范畴理论中 0-类型的模型？
• RQ4 该结构如何为后续工作中弱球状 $n$-重范畴的构造提供支持？

主要发现

• 证明了同伦离散 $n$-重范畴与通过迭代内部等价关系构建的 $n$-重范畴等价，确立了 $\mathsf{EqRel}^n \cong \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$。
• 每个同伦离散 $n$-重范畴 $X$ 都通过离散化映射 $d: X \to X^d$ 与一个离散 $n$-重范畴 $X^d$ 呈现 $n$-等价，表明其在高维中同伦平凡。
• 单子函子 $J_n$ 将 $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$ 映射为逐级等价关系，确认了塞加尔型模型结构。
• 对于 $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$，其诱导的塞加尔映射是 $(n-1)$-等价，确认了高阶范畴意义下的塞加尔条件。
• 该结构在 $p^{(n)}$-构造下封闭：若 $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$，则 $p^{(n)}X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^{n-1}$，确保了各维之间的一致性。
• 通过离散模型的同构表征 $n$-等价，为该范畴中的等价性提供了实用的判定准则。