[论文解读] Homotopy theory of higher categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 141被引用 77

一句话总结

本文通过迭代使用塞加尔方法，构建了一个同伦论框架，用于高阶范畴，针对任意可处理的左拟紧且笛卡尔的模型范畴 M，构造了 M-预范畴上的可处理、左拟紧且笛卡尔的模型结构。其主要贡献是通过反复应用该方法，系统地构建了 (∞,n)-范畴的模型范畴，为高阶范畴理论提供了基础性工具。

ABSTRACT

This is the first draft of a book about higher categories approached by iterating Segal's method, as in Tamsamani's definition of $n$-nerve and Pelissier's thesis. If $M$ is a tractable left proper cartesian model category, we construct a tractable left proper cartesian model structure on the category of $M$-precategories. The procedure can then be iterated, leading to model categories of $(\\infty, n)$-categories.

研究动机与目标

• 通过塞加尔方法的迭代应用，系统建立高阶范畴的同伦论框架。
• 在可处理的左拟紧且笛卡尔的模型范畴 M 中定义并研究 M-预范畴。
• 在 M-预范畴的范畴上构造一个可处理、左拟紧且笛卡尔的模型结构。
• 通过迭代推广该构造，以获得 (∞,n)-范畴的模型范畴。
• 为高级同伦代数提供一个连贯且基础性的高阶范畴理论模型。

提出的方法

• 通过单纯对象迭代应用塞加尔方法，以定义高阶范畴结构。
• 以塔姆萨曼尼的 n-神经函子和佩利西耶的论文作为迭代构造的基础参考。
• 将 M-预范畴定义为满足塞加尔型条件的 M 中的单纯对象。
• 在 M-预范畴上建立一个可处理、左拟紧且笛卡尔的模型结构。
• 验证该模型结构与各层级间迭代过程的兼容性。
• 将该构造扩展至通过 n 次迭代定义 (∞,n)-范畴的模型范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 塞加尔方法如何被系统性地迭代以建模高阶范畴？
• RQ2 何种模型范畴 M 的条件可确保 M-预范畴上存在良好行为的模型结构？
• RQ3 是否可在 M-预范畴的范畴上构造一个可处理、左拟紧且笛卡尔的模型结构？
• RQ4 该构造的迭代应用如何产生 (∞,n)-范畴的模型范畴？
• RQ5 在迭代过程中哪些性质得以保持，以确保高阶范畴框架的一致性？

主要发现

• 对于任意可处理的左拟紧且笛卡尔的模型范畴 M，均在 M-预范畴的范畴上构造出一个可处理、左拟紧且笛卡尔的模型结构。
• 该构造具有迭代性，可通过该方法的 n 次应用定义出 (∞,n)-范畴的模型范畴。
• 该框架推广了塔姆萨曼尼的 n-神经函子，并基于佩利西耶的论文，为高阶范畴提供了一个连贯的模型。
• 由此产生的模型范畴适用于同伦代数，并为研究 (∞,n)-范畴提供了基础。
• 该方法确保了左拟紧性和可处理性等关键同伦性质在每次迭代层级中均被保留。
• 该方法通过模型论技术，为高阶范畴理论提供了系统且结构化的路径。