[论文解读] Homotopy categories, Leavitt path algebras and Gorenstein projective modules

Xiao‐Wu Chen, Dong Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models被引用 3

一句话总结

本文建立了在根平方为零的有限维代数上，其内射模的同伦范畴与莱维特路径代数的导出范畴以及平凡扩张代数上的戈伦斯坦投射模的稳定范畴之间的三角等价关系。核心贡献是通过莱维特路径代数与戈伦斯坦投射模，统一描述了此类代数的奇点范畴，推广了先前结果，并将同伦理论、非交换代数几何与奇点理论联系起来。

ABSTRACT

For a finite quiver without sources or sinks, we prove that the homotopy category of acyclic complexes of injective modules over the corresponding finite dimensional algebra with radical square zero is triangle equivalent to the derived category of the Leavitt path algebra viewed as a differential graded algebra with trivial differential, which is further triangle equivalent to the stable category of Gorenstein projective modules over the trivial extension algebra of a von Neumann regular algebra by an invertible bimodule. A related, but different, result for the homotopy category of acyclic complexes of projective modules is given. Restricting these equivalences to compact objects, we obtain various descriptions of the singularity category of a finite dimensional algebra with radical square zero, which contain previous results.

研究动机与目标

• 描述有限维根平方为零代数上内射模的无环复形同伦范畴。
• 将该范畴与莱维特路径代数的导出范畴以及平凡扩张代数上戈伦斯坦投射模的稳定范畴联系起来。
• 为这类代数的奇点范畴提供新的描述，推广先前结果。
• 建立同伦范畴、莱维特路径代数的导出范畴与戈伦斯坦投射模稳定范畴之间的等价关系。

提出的方法

• 使用微分分次代数（微分为零）来刻画莱维特路径代数。
• 应用科祖尔对偶技术，将内射模的同伦范畴与路径代数的导出范畴联系起来。
• 从冯·诺依曼正则代数与可逆双模构造平凡扩张代数。
• 利用分次莫里塔等价与导出等价，关联莱维特路径代数与其对偶代数。
• 通过紧致对象与对奇点范畴的限制，建立三角等价关系。
• 利用已知的戈伦斯坦投射模与弗罗贝尼乌斯范畴结果，定义稳定范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 根平方为零的代数上，其内射模的无环复形同伦范畴与莱维特路径代数的导出范畴之间有何关系？
• RQ2 平凡扩张代数上戈伦斯坦投射模的稳定范畴与内射模的无环复形同伦范畴之间存在何种关系？
• RQ3 有限维根平方为零代数的奇点范畴能否通过莱维特路径代数与戈伦斯坦投射模来描述？
• RQ4 在何种条件下，此类两个代数是奇点等价的？这与它们的莱维特路径代数的分次莫里塔等价有何关联？
• RQ5 是否存在内射模的无环复形同伦范畴与对偶莱维特路径代数的导出范畴之间的三角等价？

主要发现

• 在 $kQ/J^2$ 上，其内射模的无环复形同伦范畴与对偶莱维特路径代数 $L(Q)^{\rm op}$ 的导出范畴之间存在三角等价。
• $L(Q)^{\rm op}$ 的导出范畴与平凡扩张代数 $\Lambda^+(Q) = L(Q)^0 \ltimes L(Q)^1$ 上戈伦斯坦投射模的稳定范畴之间存在三角等价。
• 在 $kQ/J^2$ 上，其无环复形投射模的同伦范畴与 $L(Q^{\rm op})$ 的导出范畴之间存在三角等价，且与 $\Lambda^-(Q^{\rm op})$ 上戈伦斯坦投射模的稳定范畴之间也存在三角等价。
• 这些范畴中的紧致对象对应于奇点范畴 $\mathbf{D}_{\rm sg}(kQ/J^2)$，其等价于完美导出范畴 $\mathrm{perf}(L(Q)^{\rm op})$，也等价于有限表示戈伦斯坦投射 $\Lambda^+(Q)$-模的稳定范畴。
• 这些等价关系限制在紧生成的三角范畴上，奇点范畴通过莱维特路径代数与戈伦斯坦投射模得到完整描述。
• 本文证明，两个此类代数奇点等价当且仅当它们的莱维特路径代数是分次莫里塔等价、导出等价，或其平凡扩张代数是莫里塔等价。